Стільник (геометрія)
замощення у 3-чи-більше-вимірному евклідовому або гіперболічному просторі З Вікіпедії, вільної енциклопедії
В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.
| Стільник | |
| Досліджується в | стереометрія |
|---|---|
| Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
| Стільник у Вікісховищі | |
Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.
Класифікація
Узагальнити
Перспектива
Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.
Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому кубічний стільник[en] є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є тетраедр Гілла[en] і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.
Однорідний тривимірний стільник
Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі[1], званих також архімедовими стільниками[en].
Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):
| Тип | Кубічний стільник | Квазіправильний стільник |
|---|---|---|
| Комірки | Кубічні | Октаедричні і тетраедричні |
| Шар |  |
 |
Тетраедрично-октаедричний стільник[en] і повернутий тетраедрично-октаедричний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.
Многогранники, що заповнюють простір
Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір[2].
Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають параллелогранниками[en]:
- Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
- Шестикутний призматичний стільник[en][3];
- Ромбододекаедричний стільник[en];
- Подовжений додекаедричний стільник[en][4];
- Стільник з глибокозрізаних кубів[en][5].
 Кубічний стільник |
 Шестикутний призматичний стільник |
 Ромбододекаедричний стільник |
 Подовжений ромбододекаедричний стільник |
 Стільник з глибокозрізаних кубів |
| Куб(паралелепіпед) | Шестикутна призма | Ромбододекаедр | Подовжений додекаедр[en] | Зрізаний октаедр |
|---|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
 |
| 3 довжини ребер | 3+1 довжини ребер | 4 довжини ребер | 4+1 довжин ребер | 6 довжин ребер |
Інші відомі приклади:
Інші стільники з двома і більше многогранниками
Іноді два[9] і більше різних многогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра — Фелана[en], запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату [10].
Структура Вейра — -Фелана (з двома типами комірок)
Неопуклі тривимірні стільники
- Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають пакування[en] малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в кубі Йошімото[en].
- Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.
Гіперболічні стільники
У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут многогранника залежить від розміру многогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і многогранники.
Досліджено 4 види компактних правильних гіперболічних стільників[ru] і багато однорідних гіперболічних стільників[en].
Двоїстість стільників у тривимірному просторі
Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:
- комірок на вершини;
- граней на ребра.
Для правильних стільників:
- Кубічний стільник самодвоїстий.
- Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
- Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
- Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда[11].
Самодвоїсті стільники
Стільники можуть бути самодвоїстими[ru]. Всі n-вимірні гіперкубічні стільники[ru] з символами Шлефлі {4,3n-2,4} самодвоїсті.
Див. також
Примітки
Література
Посилання
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.