Стільник (геометрія)

	Стільник
Досліджується в	стереометрія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
	Стільник у Вікісховищі

В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.

Коротка інформація Досліджується в, Підтримується Вікіпроєктом ...

Закрити

Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.

Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.

Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому кубічний стільник^[en] є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є тетраедр Гілла^[en] і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.

Однорідний тривимірний стільник

Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі^[1], званих також архімедовими стільниками^[en].

Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):

Більше інформації Тип, Кубічний стільник ...

Тип	Кубічний стільник	Квазіправильний стільник
Комірки	Кубічні	Октаедричні і тетраедричні
Шар

Закрити

Тетраедрично-октаедричний стільник^[en] і повернутий тетраедрично-октаедричний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.

Многогранники, що заповнюють простір

Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір^[2].

Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають параллелогранниками^[en]:

Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
Шестикутний призматичний стільник^[en]^[3];
Ромбододекаедричний стільник^[en];
Подовжений додекаедричний стільник^[en]^[4];
Стільник з глибокозрізаних кубів^[en]^[5].

Більше інформації Куб(паралелепіпед), Шестикутна призма ...

Куб(паралелепіпед)	Шестикутна призма	Ромбододекаедр	Подовжений додекаедр[en]	Зрізаний октаедр
Кубічний стільник	Шестикутний призматичний стільник	Ромбододекаедричний стільник	Подовжений ромбододекаедричний стільник	Стільник з глибокозрізаних кубів

3 довжини ребер	3+1 довжини ребер	4 довжини ребер	4+1 довжин ребер	6 довжин ребер

Закрити

Інші відомі приклади:

Трикутний призматичний стільник^[ru].
Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник
Зрізаний триакістетраедричний стільник^[en]. Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий вигляд^[6].
Трапецеїдально-ромбічний додекаедричний стільник^[en]^[7].
Прості ізоедричні мозаїки^[8].

Інші стільники з двома і більше многогранниками

Іноді два^[9] і більше різних многогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра — Фелана^[en], запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату ^[10].

Структура Вейра — -Фелана (з двома типами комірок)

Неопуклі тривимірні стільники

Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають пакування^[en] малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в кубі Йошімото^[en].
Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.

Гіперболічні стільники

У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут многогранника залежить від розміру многогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і многогранники.

Досліджено 4 види компактних правильних гіперболічних стільників^[ru] і багато однорідних гіперболічних стільників^[en].

Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:

комірок на вершини;
граней на ребра.

Для правильних стільників:

Кубічний стільник самодвоїстий.
Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда^[11].

Стільники можуть бути самодвоїстими^[ru]. Всі n-вимірні гіперкубічні стільники^[ru] з символами Шлефлі {4,3^n-2,4} самодвоїсті.

Список однорідних евклідових мозаїк^[en]
Правильні стільники^[en]

[1]
Grünbaum, 1994.
[2]
Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
[3]
Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір
[4]
Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір
[5]
Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір
[6]
Voronoi Polyhedron
[7]
Qian, Strahs, Schlick, 2001.
[8]
Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005.
[9]
Архивированная копия. Архів оригіналу за 30 червня 2015. Процитовано 16 травня 2012. [Архівовано 2015-06-30 у Wayback Machine.] Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
[10]
Pauling, 1960.
[11]
Inchbald, 1997.

H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes^[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
K. Critchlow. Order in space. — New York : Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вип. 4(2).
P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London : MIT press, 1978.
Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вип. 15.
O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вип. A61.
Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вип. 81, July.

Glossary For Hyperspace
Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski

[FOOTNOTEGrünbaum1994-1] [1]
Grünbaum, 1994.

[2] [2]
Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[3] [3]
Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір

[4] [4]
Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір

[5] [5]
Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір

[6] [6]
Voronoi Polyhedron

[FOOTNOTEQian,_Strahs,_Schlick2001-7] [7]
Qian, Strahs, Schlick, 2001.

[FOOTNOTEDelgado-Friedrichs,_O'Keeffe2005-8] [8]
Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005.

[9] [9]
Архивированная копия. Архів оригіналу за 30 червня 2015. Процитовано 16 травня 2012. [Архівовано 2015-06-30 у Wayback Machine.] Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.

[FOOTNOTEPauling1960-10] [10]
Pauling, 1960.

[FOOTNOTEInchbald1997-11] [11]
Inchbald, 1997.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]