Loading AI tools
typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami wewnętrznymi Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.
Niech będzie algebrą, w której jest pewnym niepustym zbiorem, symbole oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli[1]:
Ponieważ jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do względem dodawania (element z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany
Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:
W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.
Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:
Element odwrotny do (względem mnożenia; w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami lub Zbiór elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest
Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera[uwaga 2], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.
Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:
Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:
Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia W zachowywane są następujące własności pierścienia przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli jest ciałem, to jest pierścieniem euklidesowym.
Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.
Podzbiór pierścienia nazywa się podpierścieniem, jeżeli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z Równoważnie:
Pierwszy warunek oznacza, że musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).
Podgrupę grupy addytywnej pierścienia nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów oraz spełniony jest warunek
Jeżeli spełnia w zamian warunek
to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.
W dowolnym nietrywialnym pierścieniu istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień i podpierścień trywialny nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.
Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia
Element pierścienia nazywa się
W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.
Przekształcenie między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów spełnione są warunki:
nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.
Przekształcenie między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów spełnione są warunki:
nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.
W dowolnym pierścieniu grupa ilorazowa gdzie jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:
Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia przez ideał i również oznacza się symbolem
Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: oraz Równość
dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.
Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.