Twierdzenie Gaussa (algebra)

Twierdzenie Gaussa (również lemat Gaussa) – twierdzenie algebry udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa.

Ten artykuł dotyczy twierdzenia algebraicznego. Zobacz też: twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa oraz inne lematy Gaussa.

Wielomian pierwotny

Wielomian pierwotny to wielomian o współczynnikach z ciała ${\displaystyle F,}$ będącego ciałem ułamków pewnego pierścienia ${\displaystyle R,}$ którego współczynniki są całkowite nad ${\displaystyle R}$ oraz nie mają, poza jednościami, wspólnych czynników w ${\displaystyle R.}$

Przykładowo wielomian ${\displaystyle 3-5x^{3}}$ jest pierwotny, ale ${\displaystyle 3-9x^{2}}$ nie jest (gdy ${\displaystyle R}$ jest, na przykład, pierścieniem liczb całkowitych).

Twierdzenia

Twierdzenie Gaussa mówi, że

Iloczyn dwóch wielomianów pierwotnych jest wielomianem pierwotnym.

Korzystając z tego twierdzenia można dowieść poniższego, często nazywane także lematem Gaussa:

Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to ${\displaystyle R[x]}$ (pierścień wielomianów nad ${\displaystyle R}$) także jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Bibliografia

• Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Warszawa: PWN, 1966, s. 91-93.