Podgrupa

Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”^{[uwaga 1]} podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne^{[uwaga 2]} o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje

Zobacz też: grupa i podzbiór.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą; podzbiór ${\displaystyle H\subseteq G,}$ który tworzy grupę ze względu na działanie określone na ${\displaystyle G,}$ nazywa się podgrupą grupy ${\displaystyle G}$ i oznacza zwykle ${\displaystyle H\leqslant G}$^{[uwaga 3]}. Podgrupę ${\displaystyle H}$ jako grupę charakteryzują następujące warunki:

• Wewnętrzność: działanie grupowe na ${\displaystyle H}$ jest zawężeniem działania grupy ${\displaystyle G}$ do zbioru ${\displaystyle H;}$ dlatego iloczyn elementów ${\displaystyle a,b\in H}$ obliczany jest jako iloczyn elementów ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na ${\displaystyle H}$ dane wzorem ${\displaystyle (a,b)\mapsto ab}$ tak jak w grupie ${\displaystyle G}$ potrzeba, a zarazem wystarcza, by ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H.}$ Innymi słowy zbiór ${\displaystyle H}$ musi być zamknięty ze względu na działanie w ${\displaystyle G.}$
• Łączność: działanie w ${\displaystyle H}$ musi być łączne, czyli dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c\in H}$ musi zachodzić ${\displaystyle (ab)c=a(bc);}$ wiadomo jednak, że ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ dla ${\displaystyle a,b,c\in G,}$ a ponieważ ${\displaystyle H\subseteq G,}$ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów ${\displaystyle a,b,c\in H;}$ w ten sposób łączność działania w ${\displaystyle H}$ dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ${\displaystyle G}$).
• Element neutralny: zbiór ${\displaystyle H}$ nie może być pusty, gdyż jako grupa ${\displaystyle H}$ musi mieć element neutralny; niech ${\displaystyle e\in H}$ spełnia ${\displaystyle ae=a}$ dla dowolnego ${\displaystyle a\in H;}$ w szczególności dla elementu neutralnego ${\displaystyle e}$ grupy ${\displaystyle H}$ zachodzi ${\displaystyle ee=e,}$ a ponieważ ${\displaystyle e\in H\subseteq G,}$ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle G;}$ oznacza to, że element neutralny grupy ${\displaystyle G}$ jest zarazem elementem neutralnym w ${\displaystyle H,}$ o ile tylko należy on do ${\displaystyle H,}$ tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w ${\displaystyle H,}$ gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w ${\displaystyle G}$ należy do ${\displaystyle H.}$
• Odwracalność: dla każdego ${\displaystyle a\in H}$ musi istnieć ${\displaystyle x\in H,}$ dla których ${\displaystyle ax=e;}$ odczytanie tego równania w grupie ${\displaystyle G}$ daje natychmiastowo rozwiązanie ${\displaystyle x=a^{-1}}$ w postaci elementu odwrotnego do ${\displaystyle a}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ element odwrotny do ${\displaystyle a}$ istnieje w ${\displaystyle G,}$ dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny ${\displaystyle a^{-1}}$ do ${\displaystyle a}$ należący do ${\displaystyle G}$ jest również elementem ${\displaystyle H.}$

Podsumowując: niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

• jest zamknięty na działanie: ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H;}$
• zawiera element neutralny grupy: ${\displaystyle e\in H;}$
• jest zamknięty na odwracanie: ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ dla każdego ${\displaystyle a\in H.}$

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech ${\displaystyle a\in H}$ (gdyż ${\displaystyle H}$ jest niepusty, ${\displaystyle H\neq \varnothing }$), wtedy z trzeciego warunku ${\displaystyle a^{-1}\in H,}$ a więc ${\displaystyle aa^{-1}\in H}$ na mocy pierwszego, co daje ${\displaystyle e\in H.}$ Innymi słowy sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H,}$ można pominąć zakładając, iż ${\displaystyle H}$ jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy ${\displaystyle H\neq \varnothing ,}$ to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H.}$ Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą

Niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki

${\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}$

oraz

${\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}$

Powyższe dwa warunki (wraz z ${\displaystyle H\neq \varnothing }$) często łączy się w jeden: ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^{[uwaga 4]}; jest on zupełnie równoważny warunkowi ${\displaystyle ab^{-1}\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^{[uwaga 5]}. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej

Niepusty podzbiór skończony ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ bądź niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy skończonej ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^{[uwaga 6][uwaga 7]}.

Przykłady

Podgrupy trywialna i niewłaściwa

Zobacz też: grupa trywialna.

W dowolnej grupie ${\displaystyle G}$ zbiór jednoelementowy ${\displaystyle \{e\}}$ oraz zbiór ${\displaystyle G}$ są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą właściwą w ${\displaystyle G,}$ to czasem używa się oznaczenia ${\displaystyle H<G}$^{[uwaga 8]}, nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H,}$ to ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Kryterium bycia podgrupą

Zobacz też: dzielnik, część wspólna i grupa permutacji.

Niech ${\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}$ będzie podzbiorem liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ podzielnych przez ${\displaystyle 4.}$ Zbiór ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności^{[uwaga 9]}, a więc ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Analogicznie dowodzi się, że zbiór ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}$ dla dowolnego ${\displaystyle n}$ będącego liczbą naturalną jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}$ w grupie ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli ${\displaystyle a,b>0,}$ to ${\displaystyle ab>0}$ oraz ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}$ podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (należy wyżej zastąpić ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ znakiem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

Jeżeli ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ są podgrupami w ${\displaystyle G,}$ to ich część wspólna ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G}$^{[uwaga 10]}. Analogicznie część wspólna ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}$ rodziny ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$ podgrup grupy ${\displaystyle G}$ indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów ${\displaystyle I}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Niech ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego ${\displaystyle [0,1]}$ liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór ${\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle S}$ jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:

• Otóż zbiór ${\displaystyle T}$ jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe ${\displaystyle i\in S}$ dane wzorem ${\displaystyle i(x)=x,}$ dla którego zachodzi ${\displaystyle i(0)=0.}$
• Ponadto jeżeli ${\displaystyle f,g\in T,}$ to ${\displaystyle f(0)=0}$ oraz ${\displaystyle g(0)=0,}$ co oznacza ${\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}$ a więc ${\displaystyle f\circ g\in T.}$
• Wreszcie jeśli ${\displaystyle f\in T,}$ to ${\displaystyle f(0)=0,}$ a zatem ${\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),}$ stąd ${\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),}$ tzn. ${\displaystyle 0=f^{-1}(0),}$ czyli ${\displaystyle f^{-1}\in T.}$

Kryterium bycia podgrupą skończoną

Zobacz też: arytmetyka modularna, reszta z dzielenia i rząd.

Niech dany będzie podzbiór ${\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}$ grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ wraz z mnożeniem modulo ${\displaystyle 8,}$ przy czym ${\displaystyle {\overline {x}}}$ oznacza redukcję liczby całkowitej ${\displaystyle x}$ modulo ${\displaystyle 8}$ (tzn. resztę z dzielenia ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle 8}$). Ponieważ

${\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}}$

to zbiór ${\displaystyle U}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór ${\displaystyle U}$ powinien być podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.}$ Byłaby to prawda, gdyby ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu ${\displaystyle {\overline {0}}}$); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).

Mimo to ${\displaystyle U}$ jest grupą ze względu na mnożenie^{[uwaga 11]}: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8},}$ co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto ${\displaystyle {\overline {1}}\in U}$ oraz ${\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}}$ dla wszystkich ${\displaystyle {\overline {a}}\in U}$ (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd ${\displaystyle {\overline {1}}}$ jest elementem neutralnym w ${\displaystyle U;}$ każdy element ${\displaystyle U}$ ma odwrotność należącą do ${\displaystyle U}$ – wynika to z równań ${\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},}$ ${\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},}$ oraz ${\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.}$ Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},}$ ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},}$ ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}}$ są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w ${\displaystyle U,}$ gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w ${\displaystyle U}$ mają rzędy ${\displaystyle 1,2,4,}$ które są dzielnikami rzędu ${\displaystyle |U|=4}$ grupy ${\displaystyle U.}$

Podzbiór ${\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}}$ tworzy podgrupę grupy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że ${\displaystyle \{1,-1\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle E.}$ Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby ${\displaystyle i}$ lub ${\displaystyle -i,}$ to musiałaby także zawierać ${\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}}$ lub ${\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},}$ czyli tworzyłaby wtedy całą grupę ${\displaystyle E.}$ Dlatego ${\displaystyle E}$ ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu ${\displaystyle 1,}$ jedną rzędu ${\displaystyle 2}$ i jedną rzędu ${\displaystyle 4.}$ W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu ${\displaystyle |E|=4}$ grupy ${\displaystyle E.}$

Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli ${\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}}$ jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi ${\displaystyle \mathbb {N} }$), to mimo iż ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór ${\displaystyle P}$ jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania ${\displaystyle (0\notin P);}$ rozpatrywanie ${\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}}$ (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).

Sumy mnogościowe

Zobacz też: suma zbiorów.

W ogólności suma mnogościowa ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$ podgrup ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}$ lub ${\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}}$^{[uwaga 12]}; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G}$ zawartą w ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2},}$ to ${\displaystyle H}$ zawiera się w całości w ${\displaystyle H_{1}}$ lub ${\displaystyle H_{2}}$ (być może w obu z nich)^{[uwaga 13][uwaga 14]}. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę^{[uwaga 15]}. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe^{[uwaga 16][uwaga 17][uwaga 18]}, z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych^{[uwaga 19]}, zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych^{[uwaga 20][uwaga 21]}.

Pojęcia

Zobacz też: zbiór generatorów grupy, grupa cykliczna i rząd.

Podgrupę grupy ${\displaystyle G}$ generowaną przez jej podzbiór ${\displaystyle X}$ można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru ${\displaystyle X,}$ tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór ${\displaystyle X.}$ Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór ${\displaystyle \{a\}}$ grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ${\displaystyle a,}$ zaś sam element ${\displaystyle a}$ nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu ${\displaystyle a}$ nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.

Przypadki grup ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle E}$ opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.

Własności

Osobne artykuły: centralizator oraz centrum, komutant i podgrupa normalna.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie dowolną grupą; zbiór ${\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}}$ elementów grupy ${\displaystyle G}$ przemiennych z ustalonym jej elementem ${\displaystyle x\in G}$ tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu ${\displaystyle x}$^{[uwaga 22]}; podobnie zbiór ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}}$ elementów grupy ${\displaystyle G,}$ które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy ${\displaystyle G}$^{[uwaga 23]}.

Dla dwóch elementów ${\displaystyle x,y}$ dowolnej grupy ${\displaystyle G}$ element ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$ nazywa się ich komutatorem; przy czym ${\displaystyle [x,y]=e}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x,y}$ są przemienne, tzn. ${\displaystyle xy=yx.}$ Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów ${\displaystyle X,Y}$ grupy ${\displaystyle G}$ ich komutantem ${\displaystyle [X,Y]}$ nazywa się podgrupę w ${\displaystyle G}$ generowaną przez wszystkie komutatory ${\displaystyle [x,y],}$ gdzie ${\displaystyle x\in X}$ oraz ${\displaystyle y\in Y.}$ Podgrupę ${\displaystyle [G,G]}$ nazywa się komutantem lub pochodną grupy ${\displaystyle G.}$

Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup ${\displaystyle H}$ pewnej grupy ${\displaystyle G,}$ które są przemienne z dowolnym elementem ${\displaystyle a\in G,}$ tzn. dla każdego ${\displaystyle a\in G,}$ zachodzi ${\displaystyle aH=Ha}$^{[uwaga 24][uwaga 25]}. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ z mnożeniem modulo ${\displaystyle n}$ z grupy liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oraz jej podgrupy ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ (zob. wyżej).

Ilustracje

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

• grupę wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej (z działaniem składania przekształceń) nazywaną grupą euklidesową wraz z jej podgrupami: przesunięć, odbić, czy obrotów;
• grupę wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym ciałem^{[uwaga 26]} nazywaną pełną grupą liniową z podgrupami: diagonalną, skalarną oraz specjalną grupą liniową; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: ortogonalną, unitarną i symplektyczną;
• grupę wszystkich permutacji zbioru skończonego z działaniem ich składania nazywaną grupą symetryczną (bądź grupą permutacji) wraz z grupą alternującą tego zbioru jako jej podgrupą.

Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też

• p-podgrupa (Sylowa), podgrupa torsyjna
• podgrupa Cartana, podgrupa Fittinga, podgrupa z operatorami (podgrupa stabilna)

Uwagi

1. Żadne dwie podgrupy nie są rozłączne w sensie mnogościowym (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest element neutralny; niekiedy mówi się o nich, że mają trywialne przecięcie – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. ortogonalność).
2. Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi).
3. Dokładniej: niech ${\displaystyle (G,\cdot )}$ oraz ${\displaystyle (H,\circ )}$ będą grupami; ${\displaystyle H}$ jest podgrupą ${\displaystyle G,}$ gdy ${\displaystyle H}$ jest podzbiorem ${\displaystyle G}$ oraz ${\displaystyle a\cdot b=a\circ b}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H.}$
   W szczególności wynika stąd, że elementy neutralne ${\displaystyle G}$ oraz ${\displaystyle H}$ są tożsame. Otóż niech ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą ${\displaystyle G,}$ a ${\displaystyle e,f}$ oznaczają elementy neutralne odpowiednio ${\displaystyle G,H;}$ wówczas ${\displaystyle f\cdot f=f\circ f=f}$ oraz ${\displaystyle f\cdot e=f,}$ czyli ${\displaystyle f\cdot f=f\cdot e,}$ a więc istnienia elementu odwrotnego do ${\displaystyle f}$ (z własności skracania) w ${\displaystyle G}$ jest ${\displaystyle f=e,}$ co oznacza, że element neutralny grupy należy do jej dowolnej podgrupy (zob. dalej).
   W ogólności nie wyróżnia się działań grupy i podgrupy, oznaczając je tym samym symbolem.
4. Jeżeli ${\displaystyle ab\in H}$ dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in H}$ oraz ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ dla każdego ${\displaystyle a\in H,}$ to w istocie również ${\displaystyle a^{-1}b\in H;}$ jeżeli zaś ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ dla ${\displaystyle a,b\in H,}$ to z ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ otrzymuje się ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ dla ${\displaystyle b=e.}$ (ze względu na ${\displaystyle b^{-1}a=\left(a^{-1}b\right)^{-1}\in H,}$ czyli ${\displaystyle b^{-1}aa^{-1}b=b^{-1}b=e\in H}$), w ten sposób ${\displaystyle aaa^{-1}b=ab\in H.}$
5. Dowód można uzyskać, rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy ${\displaystyle a,b}$ ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie ${\displaystyle G}$).
6. Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy ${\displaystyle H}$ jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ pod warunkiem skończoności i zamkniętości ${\displaystyle H}$ na działanie. Niech ${\displaystyle a\in H;}$ skoro ${\displaystyle H}$ jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie ${\displaystyle a,}$ tzn. ${\displaystyle a^{k}\in H}$ dla ${\displaystyle k}$ będącego liczbą naturalną. Ponieważ ${\displaystyle H}$ jest skończony, to elementy ${\displaystyle a,a^{2},a^{3},\dots ,a^{k},\dots }$ muszą się powtarzać, zatem ${\displaystyle a^{m}=a^{n}}$ dla pewnych liczb naturalnych ${\displaystyle m\neq n}$ (por. grupa cykliczna i rząd elementu oraz zob. Przykłady). Przyjmując bez straty ogólności, że ${\displaystyle m>n}$ otrzymuje się ${\displaystyle a^{m-n-1}a=a^{m-n}=a^{m}a^{-n}=a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1}=a^{m}\left(a^{m}\right)^{-1}=e,}$ co oznacza, że ${\displaystyle a^{-1}=a^{m-n-1}\in H;}$ zatem ${\displaystyle H}$ jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.
7. Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony.
8. Innym jest ${\displaystyle H\leqslant G}$ z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są ${\displaystyle H\lneq G}$ lub ${\displaystyle H\lneqq G.}$
9. Niech ${\displaystyle a,b,c}$ będą liczbami całkowitymi: jeżeli ${\displaystyle a\mid b}$ oraz ${\displaystyle a\mid c,}$ to ${\displaystyle a\mid b+c;}$ jeśli ${\displaystyle a\mid b,}$ to ${\displaystyle a\mid -b}$ (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik). Stąd dla ${\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} }$ zachodzą podzielności ${\displaystyle 4\mid x}$ oraz ${\displaystyle 4\mid y,}$ z których wynika ${\displaystyle 4\mid x+y,}$ co oznacza ${\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z}$ ;} podobnie jeśli ${\displaystyle x\in 4\mathbb {Z} ,}$ to ${\displaystyle 4\mid x}$ pociąga ${\displaystyle 4\mid -x,}$ czyli ${\displaystyle -x\in 4\mathbb {Z} .}$
10. Istotnie, ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}\neq \varnothing ,}$ gdyż ${\displaystyle e\in H_{1}}$ oraz ${\displaystyle e\in H_{2};}$ ponadto jeżeli ${\displaystyle a,b\in H_{1}\cap H_{2},}$ to ${\displaystyle a,b\in H_{1}}$ i ${\displaystyle a,b\in H_{2},}$ skąd ${\displaystyle ab\in H_{1}}$ i ${\displaystyle ab\in H_{2},}$ a więc ${\displaystyle ab\in H_{1}\cap H_{2};}$ dodatkowo z ${\displaystyle a\in H_{1}\cap H_{2}}$ wynika ${\displaystyle a\in H_{1}}$ i ${\displaystyle a\in H_{2},}$ a więc ${\displaystyle a^{-1}\in H_{1}}$ i ${\displaystyle a^{-1}\in H_{2},}$ co pociąga ${\displaystyle a^{-1}\in H_{1}\cap H_{2};}$ stąd ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$
11. Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek, stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ oraz ${\displaystyle U}$ oznaczane byłyby odpowiednio symbolami ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{+},\mathbb {Z} _{8}^{\times }.}$
12. Równoważnie: ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}$ bądź ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1};}$ czy też ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{1}}$ albo ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{2}.}$
13. Dowód przez kontrapozycję: jeżeli ${\displaystyle H}$ nie zawiera się w ${\displaystyle H_{1}}$ ani w ${\displaystyle H_{2},}$ to można znaleźć element ${\displaystyle h_{1}}$ należący do ${\displaystyle H,}$ lecz nie do ${\displaystyle H_{2}}$ oraz element ${\displaystyle h_{2}}$ należący do ${\displaystyle H,}$ lecz nie do ${\displaystyle H_{1};}$ z założenia ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H\subseteq H_{1}\cup H_{2},}$ zatem ${\displaystyle h_{1}\in H_{1}\cap H,}$ ale ${\displaystyle h_{1}\notin H_{2}}$ oraz ${\displaystyle h_{2}\in H_{2}\cap H,}$ ale ${\displaystyle h_{2}\notin H_{1};}$ z założenia i faktu, iż ${\displaystyle H}$ jest podgrupą, wynikałoby wtedy ${\displaystyle h_{1}h_{2}\in H,}$ skąd ${\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{1},}$ czyli ${\displaystyle h_{2}\in H_{1}}$ lub ${\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{2},}$ czyli ${\displaystyle h_{1}\in H_{2},}$ a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H_{1}}$ bądź ${\displaystyle H_{2}.}$
14. Jeżeli ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$ jest podgrupą, to przyjmując ${\displaystyle H=H_{1}\cup H_{2}}$ otrzymuje się ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{1}}$ lub ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.}$ Z drugiej strony w każdym z przypadków, ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}$ lub ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1},}$ zbiór ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$ jest podgrupą.
15. Przykładem może być tzw. grupa czwórkowa Kleina ${\displaystyle \{e,a,b,ab\},}$ w której ${\displaystyle \{e,a\},\ \{e,b\},\ \{e,ab\}}$ są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę.
16. Dowód: Niech ${\displaystyle G=A\cup B\cup C,}$ gdzie ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ oraz ${\displaystyle C}$ są podgrupami właściwymi ${\displaystyle G,}$ a ponadto dane jest rozbicie ${\displaystyle G}$ na siedem rozłącznych części: ${\displaystyle S_{A},}$ ${\displaystyle S_{B},}$ ${\displaystyle S_{C},}$ ${\displaystyle S_{AB},}$ ${\displaystyle S_{AC},}$ ${\displaystyle S_{BC},}$ ${\displaystyle S_{ABC}}$ (elementy podziału zawierające wyłącznie część wspólną wymienionych w indeksie dolnym zbiorów). Ponieważ nie istnieje grupa będąca sumą mnogościową dwóch podgrup właściwych, to ${\displaystyle S_{A},}$ ${\displaystyle S_{B}}$ oraz ${\displaystyle S_{C}}$ są niepuste.
    Należy wykazać, że ${\displaystyle S_{AB}=S_{BC}=S_{AC}=\varnothing .}$ Niech ${\displaystyle a\in S_{A}}$ oraz ${\displaystyle x\in S_{BC}.}$ Wówczas ${\displaystyle ax\notin A,}$ gdyż w przeciwnym przypadku ${\displaystyle x\in A,}$ sprzeczność. Również ${\displaystyle ax\notin B\cup C,}$ gdyż w przeciwnym przypadku oznaczałoby to ${\displaystyle a\in B}$ lub ${\displaystyle a\in C,}$ co znowu daje sprzeczność. Stąd ${\displaystyle S_{BC}=\varnothing .}$ Podobnie, ${\displaystyle S_{AB}=S_{AC}=\varnothing .}$ Ostatecznie ${\displaystyle G=S_{A}\cup S_{B}\cup S_{C}\cup S_{ABC}.}$
    Jeżeli ${\displaystyle a\in S_{A}}$ oraz ${\displaystyle b\in S_{B},}$ to ${\displaystyle ab\notin A\cup B.}$ Zatem ${\displaystyle ab\in S_{C},}$ skąd ${\displaystyle S_{A}S_{B}\subseteq S_{C}}$ (podobnie ${\displaystyle S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}}$ itd.). Odwrotnie, niech ${\displaystyle c\in S_{C},}$ zaś dla dowolnego ${\displaystyle b\in S_{B}}$ będzie ${\displaystyle a=cb^{-1}\in S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}.}$ Wtedy ${\displaystyle c=ab\in S_{A}S_{B}}$ tak, że ${\displaystyle S_{C}\subseteq S_{A}S_{B}.}$ Dlatego ${\displaystyle S_{A}S_{B}=S_{C}.}$ Analogicznie dane są równości ${\displaystyle S_{B}S_{C}=S_{A},S_{C}S_{A}=S_{B}}$ wraz z ${\displaystyle S_{B}S_{A}=S_{C},}$ ${\displaystyle S_{C}S_{B}=S_{A}}$ oraz ${\displaystyle S_{A}S_{C}=S_{B}.}$
    Rozumując w niemal ten sam sposób ${\displaystyle S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=S_{C}^{2}=S_{A}S_{B}S_{C}=S_{ABC},}$ a zarazem, dla dowolnego ${\displaystyle a\in S_{A},}$ jest ${\displaystyle a\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot a=S_{A}.}$ Podobnie, dla dowolnych ${\displaystyle b\in S_{B}}$ oraz ${\displaystyle c\in S_{C},}$ zachodzi ${\displaystyle b\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot b=S_{B}}$ oraz ${\displaystyle c\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot c=S_{C}.}$
    Wówczas ${\displaystyle S_{A},}$ ${\displaystyle S_{B},}$ ${\displaystyle S_{C}}$ oraz ${\displaystyle S_{ABC}}$ tworzą cztery (lewo- i prawostronne!) warstwy ${\displaystyle S_{ABC}.}$ Wynika stąd, że ${\displaystyle S_{ABC}}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle G/S_{ABC}}$ ma strukturę grupy izomorficzną grupą czwórkową Kleina ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$
    Z drugiej strony, jeśli ${\displaystyle G}$ ma iloraz ${\displaystyle G/N}$ izomorficzny z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},}$ to ${\displaystyle G/N}$ jest sumą (mnogościową) swoich trzech podgrup ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2}}$ i ${\displaystyle H_{3}}$ indeksu 2. Przeciwobrazy ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2}}$ oraz ${\displaystyle H_{3}}$ w odwzorowaniu ilorazowym są więc trzema podgrupami właściwymi indeksu 2 stanowiącymi pokrycie ${\displaystyle G.}$
17. Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. Ważne podgrupy) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. Ważne podgrupy) jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.
    Twierdzenie: Jeżeli grupa jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup, to jest zarazem sumą mnogościową trzech właściwych podgrup normalnych.
    Dowód: Wspomniane w twierdzeniu Scorzy ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2}}$ oraz ${\displaystyle H_{3}}$ w odwzorowaniu ilorazowym ${\displaystyle G\to \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ są przeciwobrazami podgrup normalnych grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ (izomorficznych z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2};}$ ich normalność wynika np. z przemienności, przy czym zachowuje się ona po wzięciu przeciwobrazu homomorficznego).
18. Twierdzenie: Grupa skończona jest sumą mnogościową podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$ dla pewnej liczby pierwszej ${\displaystyle p.}$
    Twierdzenie: Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest sumą mnogościową właściwych podgrup normalnych, to minimalna liczba tych podgrup wynosi ${\displaystyle p+1,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest najmniejszą liczbą pierwszą, dla której ${\displaystyle G}$ ma iloraz izomorficzny z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}$
19. Niech ${\displaystyle \sigma (G)=n,}$ gdy tylko ${\displaystyle G}$ jest sumą mnogościową ${\displaystyle n}$ podgrup właściwych, ale nie jest sumą jakiekolwiek mniejszej liczby podgrup właściwych.
    Twierdzenie Cohna (1994): Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Wówczas

    • ${\displaystyle \sigma (G)=4}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \sigma (G)\neq 3,}$ zaś ${\displaystyle G}$ ma iloraz izomorficzny grupą symetryczną ${\displaystyle S_{3}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3};}$
    • ${\displaystyle \sigma (G)=5}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4\},}$ zaś ${\displaystyle G}$ ma iloraz izomorficzny grupą alternującą ${\displaystyle A_{4};}$
    • ${\displaystyle \sigma (G)=6}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4,5\},}$ zaś ${\displaystyle G}$ ma iloraz izomorficzny grupą diedralną ${\displaystyle D_{5}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5}}$ bądź ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\ltimes \mathbb {Z} _{5},}$ czyli grupą rzędu 20 o dwóch generatorach ${\displaystyle a,b}$ spełniających ${\displaystyle a^{5}=b^{4}=e}$ (gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym), ${\displaystyle ba=a^{2}b.}$
20. Zgodnie z oznaczeniami użytymi w sformułowaniu twierdzenia Cohna:
    Twierdzenie Scorzy (1926): ${\displaystyle \sigma (G)=3}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G}$ ma iloraz izomorficzny z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$
    Twierdzenie Tomkinsona (1997): Nie istnieje ${\displaystyle G,}$ dla której ${\displaystyle \sigma (G)=7.}$
21. Symbol ${\displaystyle \sigma (G)}$ oznacza liczbę pokryciową grupy ${\displaystyle G}$ będącą rozmiarem minimalnego pokrycia ${\displaystyle G,}$ gdzie pokrycie (skończone) oznacza (skończoną) rodzinę podgrup właściwych ${\displaystyle G}$ dających w sumie ${\displaystyle G,}$ minimalność pokrycia oznacza z kolei, że nie istnieje pokrycie danej grupy o mniejszej liczbie elementów.
    Twierdzenie B. H. Neumanna (1954): grupa jest sumą mnogościową skończenie wielu podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona skończony niecykliczny obraz homomorficzny.
    Twierdzenie Detomi–Lucchiniego (2008): Nie istnieje ${\displaystyle G,}$ dla której ${\displaystyle \sigma (G)=11.}$
    Twierdzenie Garonziego (2013): Nie istnieje ${\displaystyle G,}$ dla której ${\displaystyle \sigma (G)\in \{19,21,22,25\};}$ istnieją grupy ${\displaystyle G,}$ dla których ${\displaystyle \sigma (G)\leqslant 27}$ poza wymienionymi (w tym również w twierdzeniach Tomkinsona oraz Detomi i Lucchiniego).
22. Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech ${\displaystyle a,b\in \mathrm {C} (x),}$ tzn. zachodzą równości ${\displaystyle ax=xa}$ oraz ${\displaystyle bx=xb,}$ wtedy ${\displaystyle abx=axb=xab,}$ czyli ${\displaystyle ab\in \mathrm {C} (x);}$ do zbadania należenia do ${\displaystyle C(x)}$ elementu odwrotnego do ${\displaystyle a\in C(x)}$ wystarczy rozpatrzeć równość ${\displaystyle xa=ax,}$ z której wynika ${\displaystyle x=axa^{-1},}$ a z niej ${\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1}.}$
23. Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech ${\displaystyle a,b\in \mathrm {Z} (G),}$ wtedy dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in G}$ zachodzą równości ${\displaystyle ax=xa}$ oraz ${\displaystyle by=yb,}$ skąd można w szczególności dla dowolnego ${\displaystyle z\in G}$ zapisać ${\displaystyle abz=azb=zab,}$ czyli ${\displaystyle ab\in \mathrm {Z} (G);}$ z kolei jeżeli ${\displaystyle xa=ax,}$ to ${\displaystyle x=axa^{-1},}$ skąd ${\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1},}$ a więc ${\displaystyle a^{-1}\in \mathrm {Z} (G).}$
24. W odróżnieniu od centrum ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$ grupy ${\displaystyle G,}$ w którym każdy element ${\displaystyle z\in \mathrm {Z} (G)}$ z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy ${\displaystyle a,}$ tj. ${\displaystyle az=za,}$ przemienność ${\displaystyle aH=Ha}$ podgrupy normalnej ${\displaystyle H}$ z dowolnym elementem ${\displaystyle a}$ grupy ${\displaystyle G}$ oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu ${\displaystyle h_{1}\in H}$ można znaleźć element ${\displaystyle h_{2}\in H,}$ dla których zachodzi ${\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}$
25. Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. podgrup charakterystycznych (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią).
26. Bądź nieco ogólniej: wszystkich automorfizmów ustalonej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej (tj. odwracalnych przekształceń liniowych tej przestrzeni na siebie).

Encyklopedie internetowe (grupa):

• Catalana: 0211798
• DSDE: undergruppe