Zbiór jednoelementowy

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singleton – zbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór, którego jedynym elementem jest ${\displaystyle x,}$ oznacza się zwykle ${\displaystyle \{x\};}$ można go scharakteryzować w następujący sposób:

${\displaystyle a\in \{x\}\ \Leftrightarrow a=x}$^[1].

Własności

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

${\displaystyle \{a\}\cap \{b\}=\varnothing \Leftrightarrow a\neq b\Leftrightarrow \{a\}\neq \{b\},}$

powyższe równoważności można także zapisać jako:

${\displaystyle \{a\}\cap \{b\}\neq \varnothing \Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \{a\}=\{b\}.}$

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{x\in A}\{x\}.}$

Zachodzi także:

${\displaystyle x\in X\Leftrightarrow \{x\}\subset X}$^[2].

Przykłady

Teoria mnogości

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:

• Zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} }$ zawiera wszystkie liczby naturalne, a ${\displaystyle \{\mathbb {N} \}}$ to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
• Podobnie ${\displaystyle \varnothing }$ jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: ${\displaystyle \forall x\colon x\not \in \varnothing ,}$ natomiast zbiór ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności ${\displaystyle \{\varnothing \}\neq \varnothing .}$ Podobnie ${\displaystyle {\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \varnothing }$ oraz ${\displaystyle {\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \{\varnothing \}.}$ Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych^[3][4].

Zbiór ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru ${\displaystyle X}$ jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru ${\displaystyle X{:}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\bigcup _{Y\subset X}\{Y\},}$

co można także zapisać w postaci

${\displaystyle Y\in {\mathcal {P}}(X)\Leftrightarrow Y\subset X}$

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermela-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

${\displaystyle \langle a,b\rangle ={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}}$^[5].

Topologia

W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T₁, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty^[6]. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T₀.

Teoria kategorii

W niektórych kategoriach, na przykład w kategorii zbiorów ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$ obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi^[7].