Zbiór jednoelementowy

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singleton – zbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór, którego jedynym elementem jest ${\displaystyle x,}$ oznacza się zwykle ${\displaystyle \{x\};}$ można go scharakteryzować w następujący sposób:

${\displaystyle a\in \{x\}\ \Leftrightarrow a=x}$^[1].

Własności

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

${\displaystyle \{a\}\cap \{b\}=\varnothing \Leftrightarrow a\neq b\Leftrightarrow \{a\}\neq \{b\},}$

powyższe równoważności można także zapisać jako:

${\displaystyle \{a\}\cap \{b\}\neq \varnothing \Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \{a\}=\{b\}.}$

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

${\displaystyle A=\bigcup \limits _{x\in A}\{x\}.}$

Zachodzi także:

${\displaystyle x\in X\Leftrightarrow \{x\}\subset X}$^[2].

Przykłady

Teoria mnogości

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:

• Zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} }$ zawiera wszystkie liczby naturalne, a ${\displaystyle \{\mathbb {N} \}}$ to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
• Podobnie ${\displaystyle \varnothing }$ jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: ${\displaystyle \forall x\colon x\not \in \varnothing ,}$ natomiast zbiór ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności ${\displaystyle \{\varnothing \}\neq \varnothing .}$ Podobnie ${\displaystyle {\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \varnothing }$ oraz ${\displaystyle {\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \{\varnothing \}.}$ Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych^[3][4].

Zbiór ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru ${\displaystyle X}$ jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru ${\displaystyle X{:}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\bigcup _{Y\subset X}\{Y\},}$

co można także zapisać w postaci

${\displaystyle Y\in {\mathcal {P}}(X)\Leftrightarrow Y\subset X}$

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermela-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

${\displaystyle \langle a,b\rangle ={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}}$^[5].

Topologia

W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T₁, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty^[6]. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T₀.

Teoria kategorii

W niektórych kategoriach, na przykład w kategorii zbiorów ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$ obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi^[7].

Przypisy

1. Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 140, 141. ISBN 83-01-05028-4.
2. Клини Д.Л.: Общая топология. Москва: Наука, 1968, s. 16. (ros.).
3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 99–107.
4. John von Neumann. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. „Acta Litt. Ac. Sci. Hung. Fran. Joseph”. 1, s. 199–208, 1923. (niem.).
5. Kazimierz Kuratowski. Sur la notion de ľordre dans la théorie des ensembles. „Fundamenta Mathematicae”. 2, s. 161–171, 1921. (fr.).
6. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 365.
7. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 61, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Encyklopedie internetowe (krotka):

• Britannica: topic/singleton-set-theory