Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretna – przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (X,\tau )}$ z topologią ${\displaystyle \tau }$ taką, że punkty zbioru ${\displaystyle X}$ są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje formalne

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór ${\displaystyle X.}$

• Topologię dyskretną na ${\displaystyle X}$ definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór ${\displaystyle X}$ jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór ${\displaystyle X}$ wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
• Jednostajność dyskretną na ${\displaystyle X}$ definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej ${\displaystyle {\big \{}(x,x)\colon x\in X{\big \}}}$ jest otoczeniem. Zbiór ${\displaystyle X}$ wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
• Przestrzeń metryczną ${\displaystyle (X,d)}$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka ${\displaystyle d}$ jest metryką dyskretną, tj.

  ${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x\neq y,\\0,&{\text{gdy }}x=y\end{cases}}}$

  dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X.}$

• Przestrzeń metryczną ${\displaystyle (X,d)}$ nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje ${\displaystyle r>0}$ takie, że dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ jest ${\displaystyle x=y}$ bądź ${\displaystyle d(x,y)>r.}$ Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze ${\displaystyle \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\dots \right\}.}$

Własności

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna ${\displaystyle X:=\left\{{\tfrac {1}{n}}\colon n=1,2,3,\dots \right\}}$ z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Twierdzenia

• Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna ${\displaystyle \iff }$ otwarte są zbiory jednoelementowe
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna ${\displaystyle \iff }$ przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
• Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
• Przestrzeń jednostajna jest dyskretna ${\displaystyle \iff }$ przekątna jest otoczeniem.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
• Przestrzeń dyskretna jest zwarta ${\displaystyle \iff }$ przestrzeń jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona ${\displaystyle \iff }$ przestrzeń jest skończona.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
• Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) ${\displaystyle \iff }$ przestrzeń jest przeliczalna.
• Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
• Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
• Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
• Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna^[1].
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to ${\displaystyle X}$ jest równo pokryta przez ${\displaystyle X\times Y}$ (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
• Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
• Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
• Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
• Odwzorowanie przestrzeni topologicznej ${\displaystyle Y}$ w przestrzeń dyskretną ${\displaystyle X}$ jest ciągłe ${\displaystyle \iff }$ jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt ${\displaystyle Y}$ ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też

• przestrzeń antydyskretna

Przypisy

1. W istocie jest to warunek konieczny i dostateczny.