Zbiór pierwszej kategorii

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest pierwszej kategorii Baire’a w ${\displaystyle X}$ (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n},}$ gdzie każdy ze zbiorów ${\displaystyle A_{n}}$ jest nigdziegęsty w ${\displaystyle X}$ (tzn. ${\displaystyle \mathrm {int} {\big (}\mathrm {cl} (A_{n}){\big )}=\emptyset }$). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w ${\displaystyle X}$ będziemy oznaczać przez ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ (albo po prostu przez ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).

Własności

• Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni ${\displaystyle X}$ tworzą σ-ideał podzbiorów ${\displaystyle X.}$ Każdy zbiór z ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ jest zawarty w pewnym zbiorze typu F_σ, który też jest pierwszej kategorii.
• Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
• Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski ${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$ który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn. ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(X)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \varphi (A)\in {\mathcal {K}}(Y)}$).
• Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie

• Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest I kategorii w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Prostą rzeczywistą ${\displaystyle \mathbb {R} }$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, ${\displaystyle \mathbb {R} =K\cup L,}$ takich że

${\displaystyle K}$ jest zbiorem pierwszej kategorii, a

${\displaystyle L}$ jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.

Aby podać przykład takich zbiorów ${\displaystyle K,L}$ ustalmy numerację ${\displaystyle \langle q_{n}\colon n=1,2,3,\dots \rangle }$ zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych ${\displaystyle n,m}$ niech ${\displaystyle I_{m}^{n}}$ będzie odcinkiem otwartym o środku w ${\displaystyle q_{n}}$ i długości ${\displaystyle 2^{-(n+m)}.}$ Wówczas zbiór ${\displaystyle L=\bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }I_{m}^{n}}$ jest miary zero, ale jego dopełnienie ${\displaystyle K=\mathbb {R} \setminus L}$ jest pierwszej kategorii.

• Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
• Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka ${\displaystyle [0,1]}$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Wyposażmy ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę

${\displaystyle d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}.}$

Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór

${\displaystyle NR={\big \{}f\in {\mathcal {C}}([0,1])\colon f}$ nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka ${\displaystyle [0,1]\ {\big \}}.}$

Banach udowodnił, że zbiór ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])\setminus NR}$ jest pierwszej kategorii w ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1]),}$ czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty ${\displaystyle I_{1},}$ a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału ${\displaystyle I_{2}\subseteq I_{1}.}$ Kiedy gracze dochodzą do ${\displaystyle n}$ tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych ${\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}.}$ Na ${\displaystyle n}$ tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty ${\displaystyle I_{2n}\subseteq I_{2n-1},}$ a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział ${\displaystyle I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.}$

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię ${\displaystyle \langle I_{n}\colon n=1,2,3,4,\dots \rangle }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }I_{n}\subseteq Z.}$

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus Z}$ jest pierwszej kategorii.

Zobacz też

• diagram Cichonia
• ideały w teorii mnogości
• własność Baire’a
• zbiór nigdziegęsty