Liczby postaci
![{\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }a^{-j!},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857e4b337d0bf85e09f9da5d98b260783c18a2e0)
gdzie
jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy
i
następująco:
![{\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}a^{(n!-j!)},\quad q_{n}=a^{n!}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41461191030ad5d0fa2883f4d89d30d15969caf1)
Wówczas dla wszystkich
naturalnych
![{\displaystyle |c-p_{n}/q_{n}|=\sum _{j=n+1}^{\infty }a^{-j!}=a^{-(n+1)!}+a^{-(n+2)!}+\ldots <a^{-(n!n)}=(1/{q_{n}})^{n},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9a2664758a1cfd0494c2a569353430a49294fb)
co spełnia warunki definicji.
Liczba
![{\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0{,}110001000000000000000001000\dots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca778127865bd87d7f7685b381fa24c29b08431)
nosi nazwę stałej Liouville’a.
Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy, przyjmując, że dla dowolnego
istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych
dla których spełniona jest powyższa nierówność.
Niewymierność liczb Liouville’a
Nietrudno wykazać, że jeśli
jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite
i
dla których mielibyśmy
Niech
oznacza taką liczbę naturalną, że
Wówczas, jeśli
i
są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że
i
to
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}\cdot q}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376167414a195b56dd843f6beb24654e16bb5a9e)
co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.
Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a
Wykażemy, że zbiór
liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby[1]. Dla liczb naturalnych
oraz
połóżmy:
![{\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4285cb3c92550da2ebcd8f787be8fca7bcd95eee)
Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych
i
mamy
![{\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b927b69bd29398ab847049bc0e2f50429f53d1e)
Oczywiście,
Pamiętając, że
można również wykazać, że
![{\displaystyle \sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leqslant (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leqslant {\frac {4m+1}{n-2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063001f8417155ddf28b649889692fbeb81eabd3)
Ponieważ
to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej
przekrój
jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i
jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.
Stopień niewymierności
Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć, „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badaniu dokładności aproksymacji liczby
za pomocą liczb wymiernych.
Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych
o tej własności, że nierówność
![{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e1149eaedbebdd7a5104c78c8503865457b0a3)
zachodzi dla nieskończenie wielu par
gdzie ![{\displaystyle q>0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80da59b64cbbdce0c8915705ce5945769a8f5071)
Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.
Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.
Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.
- Lemat: Jeśli
jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu
stopnia
o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista
taka, że dla dowolnych liczb całkowitych
oraz
zachodzi ![{\displaystyle |\alpha -p/q|>A/q^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aad3e74d63f95e6b800690b1de102f1b63280fd)
Dowód lematu: Niech
oznacza największą wartość modułu pochodnej
wielomianu
w przedziale
Niech
będą różnymi pierwiastkami wielomianu
które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę
która spełnia warunek:
![{\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c100306eed70d74f8f0c89739a2b19bea9312d)
Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite
dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leqslant {\frac {A}{q^{n}}}\leqslant A<\min {\big (}1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|{\big )}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae354fb82792ed527f9a62a80afaf0bd4a09328)
Wówczas
leży w przedziale
oraz
nie jest żadną z liczb
Zatem
nie jest też pierwiastkiem
a ponadto żaden pierwiastek
nie leży pomiędzy
i ![{\displaystyle p/q.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859645f5823d17a5abfa11c70bb975118fccebe0)
Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy
i
istnieje taka liczba
że
![{\displaystyle f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)\cdot f'(x_{0}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336a05bda464b77ba315694ff2326e6e6106c171)
Ponieważ
jest pierwiastkiem
a
nie, zatem
i:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba739aba4f298240f3c302a0851e275769e92cb6)
Ponieważ
jest postaci
gdzie każde
jest całkowite,
można zapisać jako
![{\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}\left({\frac {p}{q}}\right)^{i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428b1b28d2d3366a162b5d5f6a00e26669d2e3f0)
Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż
nie jest pierwiastkiem wielomianu
a
są liczbami całkowitymi.
Zatem
a skoro
na mocy określenia liczby
i
z definicji
otrzymujemy stąd sprzeczność:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}\geqslant {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geqslant \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b7f10ef0f8544163572b0374106f120294f8d4)
Wynika stąd, że nie istnieją liczby
i
o takich własnościach, co dowodzi lematu.
Dowód stwierdzenia: Niech
będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że
jest liczbą niewymierną. Gdyby
była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna
i rzeczywista dodatnia
takie że dla dowolnych całkowitych
i ![{\displaystyle q{:}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0990742bc83a0cc92fc4085d29d9f0a24f25594)
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2ee2c18038a9de420dac782c3cf361fe8155d3)
Niech
będzie taką liczbą naturalną, że
Jeśli położyć
to – ponieważ
jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite
i takie, że
![{\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {1}{2^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {A}{b^{n}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cccd6a9044d3e9b4188ddec57fccab549ce9de3)
co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd
nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.