Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne – liczby rzeczywiste (ogólniej zespolone), będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych)^[1].

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej ${\displaystyle \alpha }$ istnieje wielomian nierozkładalny nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ którego pierwiastkiem jest ${\displaystyle \alpha .}$ Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby ${\displaystyle \alpha .}$

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdinand Lindemann dowiódł, że liczba π nie jest algebraiczna, czyli jest przestępna, i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

Przykłady

• Każda liczba wymierna ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego ${\displaystyle qx-p.}$
• Liczba ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• element algebraiczny
• liczba