Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne – liczby rzeczywiste (ogólniej zespolone), będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych)^[1].

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej ${\displaystyle \alpha }$ istnieje wielomian nierozkładalny nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ którego pierwiastkiem jest ${\displaystyle \alpha .}$ Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby ${\displaystyle \alpha .}$

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdinand Lindemann dowiódł, że liczba π nie jest algebraiczna, czyli jest przestępna, i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

Przykłady

• Każda liczba wymierna ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego ${\displaystyle qx-p.}$
• Liczba ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• element algebraiczny
• liczba

Przypisy

1. Liczba algebraiczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24].

Kontrola autorytatywna (liczby zespolone):

• LCCN: sh85048127
• GND: 4141847-5
• BnF: 119418631
• BNCF: 22144
• J9U: 987007531340005171

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3932349
• Britannica: topic/algebraic-number
• SNL: algebraisk_tall