Przestrzeń T0

Przestrzeń ${\displaystyle T_{0}}$ – termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie ${\displaystyle T_{0}}$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa, jako że zostały wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle T_{0},}$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieje zbiór otwarty w ${\displaystyle X,}$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy różne jednopunktowe podzbiory ${\displaystyle X}$ mają różne domknięcia.

Przykłady i własności

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$
• Istnieją przestrzenie ${\displaystyle T_{0},}$ które nie są ${\displaystyle T_{1}}$^[1] – np. przestrzeń Sierpińskiego lub topologia krojących się przedziałów^[2]. Rozważmy na przykład dwupunktową przestrzeń ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ z topologią ${\displaystyle \tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}.}$ Jest to przestrzeń ${\displaystyle T_{0},}$ ale nie ${\displaystyle T_{1}.}$
• Niech ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną ${\displaystyle \tau _{1}={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}.}$ Jest to przestrzeń topologiczna, która nie jest ${\displaystyle T_{0}.}$
• Przestrzeń ${\displaystyle Y=(0,1)\cup (1,2),}$ w której za zbiory otwarte uznamy ${\displaystyle Y,\emptyset ,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ i ${\displaystyle (1,2),}$ także nie jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$
• Podzbiór przestrzeni ${\displaystyle T_{0}}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$ Własność być przestrzenią ${\displaystyle T_{0}}$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni ${\displaystyle T_{0}}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń T₁

Przypisy

1. 4.1 Przestrzenie Ti dla i [<=] 2, [w:] StefanS. Jackowski StefanS., Materiały dydaktyczne – Topologia I*. Pomocnik studenta. (2017Z), www.mimuw.edu.pl, 2018, s. 25 [dostęp 2023-03-23].
2. 2.5 Aksjomaty oddzielania, [w:] BartłomiejB. Skowron BartłomiejB., Część i całość. W stronę topoontologii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2021, s. 42, ISBN 978-83-8156-279-9 [dostęp 2023-03-23] (pol.).

Bibliografia

• Engelking Ryszard: Topologia Ogólna, PWN, Warszawa 2007, ISBN 3-88538-006-4, strona 51.
• IX. [T0]-spaces, [w:] KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Topology, t. I, PWN, 1966, s. 51, ISBN 978-1-4832-7256-6 [dostęp 2023-03-23] (ang.).