Przestrzeń T0

Przestrzeń ${\displaystyle T_{0}}$ – termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie ${\displaystyle T_{0}}$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa, jako że zostały wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle T_{0},}$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieje zbiór otwarty w ${\displaystyle X,}$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy różne jednopunktowe podzbiory ${\displaystyle X}$ mają różne domknięcia.

Przykłady i własności

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$
• Istnieją przestrzenie ${\displaystyle T_{0},}$ które nie są ${\displaystyle T_{1}}$^[1] – np. przestrzeń Sierpińskiego lub topologia krojących się przedziałów^[2]. Rozważmy na przykład dwupunktową przestrzeń ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ z topologią ${\displaystyle \tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}.}$ Jest to przestrzeń ${\displaystyle T_{0},}$ ale nie ${\displaystyle T_{1}.}$
• Niech ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną ${\displaystyle \tau _{1}={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}.}$ Jest to przestrzeń topologiczna, która nie jest ${\displaystyle T_{0}.}$
• Przestrzeń ${\displaystyle Y=(0,1)\cup (1,2),}$ w której za zbiory otwarte uznamy ${\displaystyle Y,\emptyset ,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ i ${\displaystyle (1,2),}$ także nie jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$
• Podzbiór przestrzeni ${\displaystyle T_{0}}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$ Własność być przestrzenią ${\displaystyle T_{0}}$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni ${\displaystyle T_{0}}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{0}.}$

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń T₁