Twierdzenie Cayleya

Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Dowód tego jest dziś łatwy, ale historycznie uświadomienie sobie tego w XIX wieku było znaczącym krokiem, wymagało zmiany myślenia o algebrze. Istotnego kroku dokonał Arthur Cayley.

Twierdzenie

Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru^[1]. W szczególności, każda grupa skończona rzędu ${\displaystyle n}$ zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej ${\displaystyle S_{n}}$^[2].

Dowód

Wykażemy, że każda grupa ${\displaystyle G}$ jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji ${\displaystyle S(\mathbb {G} )}$ zbioru ${\displaystyle G.}$

Niech ${\displaystyle a}$ będzie dowolnym elementem grupy ${\displaystyle \mathbb {G} }$ i niech ${\displaystyle \xi _{a}\colon \mathbb {G} \to \mathbb {G} ,}$ będzie odwzorowaniem takim, że: ${\displaystyle \xi _{a}(x)=ax,}$ gdzie ${\displaystyle x\in \mathbb {G} .}$

Odwzorowanie ${\displaystyle \xi _{a}}$ jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem ${\displaystyle \xi _{a}(x)=\xi _{a}(y)\Rightarrow ax=ay\Rightarrow x=y.}$ Ponadto dla dowolnego ${\displaystyle z\in \mathbb {G} }$ istnieje element ${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$ taki, że ${\displaystyle \xi _{a}(x)=z.}$ Takim elementem jest ${\displaystyle x:=a^{-1}z.}$ Czyli ${\displaystyle \xi _{a}}$ jest przekształceniem grupy ${\displaystyle \mathbb {G} }$ na siebie, tzn. ${\displaystyle \xi _{a}\in S(\mathbb {G} ).}$

Zauważmy jeszcze, że dla ${\displaystyle \xi _{a},\xi _{b}}$ zachodzi ${\displaystyle (\xi _{a}\xi _{b})(x)=\xi _{a}(\xi _{b}(x))=\xi _{a}(bx)=a(bx)=(ab)x=\xi _{ab}(x)}$ dla dowolnego ${\displaystyle x\in \mathbb {G} .}$

Stąd ${\displaystyle \xi _{a}\xi _{b}=\xi _{ab}}$ i zbiór odwzorowań ${\displaystyle \{\xi _{a}:\ a\in G\}}$ jest grupą, w której ${\displaystyle \xi _{e}}$ jest elementem neutralnym oraz ${\displaystyle (\xi _{a})^{-1}=\xi _{a^{-1}}.}$

Określmy teraz odwzorowanie ${\displaystyle f\colon \mathbb {G} \to S(\mathbb {G} )}$ w następujący sposób:

${\displaystyle f(a)=\xi _{a},}$ dla ${\displaystyle a\in \mathbb {G} .}$

Jest ono iniektywne, bowiem ${\displaystyle f(a)=f(b)\Rightarrow \xi _{a}=\xi _{b}\Rightarrow \forall _{x\in \mathbb {G} }(ax=bx)\Rightarrow a=b,}$ a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że ${\displaystyle f}$ jest homomorfizmem, bo ${\displaystyle f(ab)=\xi _{ab}=\xi _{a}\xi _{b}=f(a)f(b).}$

Stąd ${\displaystyle f\colon \mathbb {G} \to S(\mathbb {G} )}$ jest zanurzeniem izomorficznym grupy ${\displaystyle \mathbb {G} }$ w grupę ${\displaystyle S(\mathbb {G} ).}$

q.e.d.^[3]

Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm ${\displaystyle f}$ nazywa się niekiedy reprezentacją regularną ${\displaystyle G.}$ Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie ${\displaystyle \xi }$ grupy ${\displaystyle G}$ na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Historia

Burnside^[4] przypisuje to twierdzenie Jordanowi^[5], jednak Eric Nummela^[6] uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayleyowi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. I mimo że sam Cayley w swojej pracy^[7] nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.

Przypisy

1. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258, Twierdzenie 13.1.
2. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 259, Wniosek 13.1.
3. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258-259, Twierdzenie 13.1 – Dowód.
4. WilliamW. Burnside WilliamW., Theory of Groups of Finite Order, wyd. 2 ed., Cambridge, 1911, ISBN 0-486-49575-2. Brak numerów stron w książce
5. CamilleC. Jordan CamilleC., Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870. Brak numerów stron w książce
6. Eric C.E.C. Nummela Eric C.E.C., Cayley’s Theorem for Topological Groups, „American Mathematical Monthly”, 87 (3), Mathematical Association of America, 1980, s. 202–203, DOI: 10.2307/2321608, JSTOR: 2321608 (ang.).
7. ArthurA. Cayley ArthurA., On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, „Philosophical Magazine”, 7 (42), 1854, s. 40–47.

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• BolesławB. Gleichgewicht BolesławB., Algebra, Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004, ISBN 978-83-89020-35-2.