Grupa permutacji

Grupa permutacji – grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Rząd (tj. liczba elementów) grupy permutacji zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego wynosi ${\displaystyle n!}$ (zob. silnia).

Ten artykuł dotyczy grup bijekcji zbiorów skończonych. Zobacz też: grupa bijekcji.

Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych^[a].

Nazewnictwo i oznaczenia

Grupy permutacji bywają nazywane również grupami symetrycznymi, choć termin ten należy raczej traktować ogólnie; niektóry autorzy^[1] „grupami permutacji” nazywają podgrupy właściwe grupy symetrycznej (tu: wszystkich permutacji danego zbioru). Niekiedy używa się również nazwy grupa bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych), jednak zwykle nazwa ta odnosi się do grup przekształceń dowolnych zbiorów (w tym nieskończonych).

Zwykle^[2][3][4] grupy permutacji zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego oznacza się symbolem ${\displaystyle S_{n};}$ grupy bijekcji zbioru ${\displaystyle X}$ oznaczane są często^[2] ${\displaystyle \mathrm {S} (X),}$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$^[5], ${\displaystyle \mathrm {Sym} (X)}$ dla grup bijekcji, czy ${\displaystyle \Sigma _{n},}$ ${\displaystyle \Pi (n)}$^[5] dla grupy permutacji.

Przykłady

Jeśli ${\displaystyle X=\varnothing }$ jest zbiorem pustym, to istnieje jedno trywialne uporządkowanie tego zbioru: ${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$ (permutacja pusta). Gdy ${\displaystyle X=\{x\}}$ jest zbiorem jednoelementowym, to grupa permutacji znowu zawiera wyłącznie tylko permutację trywialną ${\displaystyle (x)\mapsto (x).}$ Jeżeli ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ jest zbiorem dwuelementowym, to istnieją tylko dwie permutacje tego zbioru: ${\displaystyle (a,b)\mapsto (a,b)}$ (tożsamość) oraz ${\displaystyle (a,b)\mapsto (b,a)}$ (transpozycja).

Uwagi

1. Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

Przypisy

1. Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.
2. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ISBN 83-01-03903-5.
3. Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.
4. Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.
5. Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.

Linki zewnętrzne

• Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. III Grupa symetryczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Permutation Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Symmetric Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
• Permutation group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Encyklopedie internetowe (grupa):

• DSDE: permutationsgruppe