Pełna grupa liniowa

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n}$ nad danym pierścieniem ${\displaystyle R,}$ z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie.

Definicja formalna

Pełną grupą liniową ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ nazywamy uporządkowaną czwórkę ${\displaystyle \left(U_{n}(R),\cdot ,\ ^{-1},I\right),}$ gdzie:

• ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem łącznym z jedynką,
• ${\displaystyle U_{n}(R)=\{A\ \in R_{n}^{n}\colon A{\text{ jest odwracalna}}\},}$ – zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n, odwracalnych,
• działaniem grupowym jest mnożenie macierzy,
• operacją brania elementu odwrotnego jest odwracanie macierzy
• elementem neutralnym jest macierz jednostkowa.

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\cdot )}$ jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ lub ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ nazywamy grupę wszystkich automorfizmów ${\displaystyle V,}$ tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych ${\displaystyle V\to V}$ ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń ${\displaystyle V}$ ma skończony wymiar ${\displaystyle \dim V=n,}$ to ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w ${\displaystyle V.}$ Jeżeli ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ jest bazą uporządkowaną ${\displaystyle V,}$ zaś ${\displaystyle T}$ automorfizmem ${\displaystyle \operatorname {GL} (V),}$ to mamy

${\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}$

dla pewnych stałych ${\displaystyle a_{jk}\in K.}$ Macierz odpowiadająca ${\displaystyle T}$ składa się po prostu z wyrazów ${\displaystyle a_{jk}.}$

Podobnie grupa ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego ${\displaystyle R}$-modułu o randze ${\displaystyle n.}$

Wyznaczniki

Macierz jest odwracalna nad ciałem ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego ${\displaystyle R}$ jest nieco subtelniejsza: macierz nad ${\displaystyle R}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w ${\displaystyle R,}$ tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w ${\displaystyle R.}$ Stąd ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym ${\displaystyle R}$ nie ma sensu. W tym przypadku grupa ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych ${\displaystyle M(n,R).}$

Specjalna grupa liniowa SL(n, R)

Specjalną grupą liniową stopnia ${\displaystyle n}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia ${\displaystyle n}$ o elementach z ciała ${\displaystyle K,}$ których wyznacznik jest równy jedności^[1]. Specjalną grupę liniową oznacza się przez ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ lub ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K).}$

Własności

• Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników (twierdzenie Cauchy’ego), zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
• Jeżeli ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle K=\mathbb {C} ,}$ to ${\displaystyle \operatorname {SL} (n)}$ jest grupą Liego wymiaru ${\displaystyle n^{2}-1;}$ grupa ta jest podgrupą grupy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n).}$
• Algebra Liego ${\displaystyle \operatorname {sl} (n)}$ grupy ${\displaystyle \operatorname {SL} (n)}$ składa się ze wszystkich macierzy ${\displaystyle K_{n}^{n}}$ o zerowym śladzie; nawias Liego tej algebry jest zadany przez komutator macierzy.
• Specjalna grupa liniowa ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru ${\displaystyle n^{2}}$ nad ${\displaystyle K.}$

Ciała skończone

Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest ciałem skończonym o ${\displaystyle q}$ elementach, to zamiast ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ piszemy czasami ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q).}$ Jeżeli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, to ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,p)}$ jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n},}$ a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy

Rząd grupy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ wynosi

${\displaystyle |\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}\ (q^{n}-q^{i}).}$

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie ${\displaystyle k}$-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych ${\displaystyle k-1}$ kolumn.

Przykładowo ${\displaystyle \operatorname {GL} (3,2)}$ ma rząd równy ${\displaystyle (8-1)(8-2)(8-4)=168.}$ Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{3}.}$

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad ${\displaystyle K,}$ innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru ${\displaystyle k.}$ Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ to

${\displaystyle |\operatorname {SL} (n,K)|={\frac {1}{q-1}}\prod _{i=0}^{n-1}\ (q^{n}-q^{i}).}$

Inne podgrupy

Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę grupy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K),}$ nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z ${\displaystyle \left(K^{*}\right)^{n}.}$ W ciałach takich jak ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ czy ${\displaystyle \mathbb {C} }$ odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

W szczególności, jeżeli wszystkie elementy na diagonali są równe, to macierz jest tzw. macierzą skalarną, będąca iloczynem stałej liczby oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej ${\displaystyle V.}$ Są to między innymi

• grupa ortogonalna, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(V),}$ zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na ${\displaystyle V,}$
• grupa symplektyczna, ${\displaystyle \operatorname {Sp} (V),}$ zachowująca formę symplektyczną na ${\displaystyle V}$ (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
• grupa unitarna, ${\displaystyle \operatorname {U} (V),}$ zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na ${\displaystyle V,}$ o ile ${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności

• Jeśli ${\displaystyle n>2,}$ to ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ nie jest abelowa.
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K).}$
• Niech ${\displaystyle K^{*}}$ będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów ${\displaystyle K}$ różnych od zera) ciała ${\displaystyle K,}$ wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:

  ${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}.}$

• Z definicji jądra wynika, że jądrem ${\displaystyle \det }$ jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem ${\displaystyle \ker \det =\operatorname {SL} (n,K).}$
• Więcej, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ jest produktem półprostym ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}.}$
• Grupa ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} ),}$ w przeciwieństwie do ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} ),}$ jest jednospójna. Dodatkowo ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$ czyli ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dla ${\displaystyle n=2}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ dla ${\displaystyle n>2.}$
• Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ izomorficzną z ${\displaystyle K^{*}.}$
• Grupa skalarna stanowi centrum ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K),}$ zatem jest ona normalna i przemienna.
• Centrum ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki ${\displaystyle n}$-tego stopnia w ciele ${\displaystyle K.}$

Podobne grupy

Projektywna grupa liniowa

Projektywna grupa liniowa ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,K)}$ oraz specjalna projektywna grupa liniowa ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,K)}$ są grupami ilorazowymi ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna

Grupa afiniczna ${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)}$ jest rozszerzeniem ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ o grupę przesunięć w ${\displaystyle K^{n}.}$ Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ działa na ${\displaystyle K^{n}}$ w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową ${\displaystyle K^{n}.}$

Zobacz też

Grupy

• grupa obrotów SO(2)
• grupa obrotów SO(n)
• grupa unitarna SU(2)
• grupa unitarna SU(n)

Inne pojęcia

• macierz odwracalna
• wyznacznik

Przypisy

1. Affine Algebraic Geometry, Example 2.3.

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.