Kontrakcja (matematyka)

Kontrakcja, odwzorowanie zwężające^[1][2][3] – przekształcenie ${\displaystyle f}$ z przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,\varrho _{X})}$ w przestrzeń metryczną ${\displaystyle (Y,\varrho _{Y}),}$ dla którego istnieje stała rzeczywista ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$ taka, że dla dowolnych ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ zachodzi nierówność^[2][4]:

${\displaystyle \varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \varrho _{X}(x_{1},x_{2}).}$

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała ${\displaystyle \alpha ,}$ dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji^{[potrzebny przypis]}.

Własności

• Każda kontrakcja, jako funkcja lipschitzowska, jest ciągła i to jednostajnie.
• Każda kontrakcja niepustej przestrzeni zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; fakt ten jest znany jako twierdzenie Banacha o kontrakcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – nie tylko kontrakcje mają punkty stałe.

Przypisy

1. Banacha twierdzenie o punkcie stałym, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-26].
2. Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-26].
3. Górnicki 2009 ↓, s. 238.
4. Górnicki 2008 ↓, s. 1.

Bibliografia

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Wariacje na temat Zasady Banacha, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2008 [dostęp 2023-08-26].
• Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.