Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia ${\displaystyle R}$ oznaczana jako ${\displaystyle 1}$ spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$ dla każdego elementu ${\displaystyle a}$ pierścienia ${\displaystyle R.}$

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to ${\displaystyle 1\neq 0.}$ Jeśli ${\displaystyle f\colon R\to S}$ jest homomorfizmem pierścieni z jedynką i ${\displaystyle 1}$ jest jedynką pierścienia ${\displaystyle R,}$ to ${\displaystyle f(1)}$ jest jedynką pierścienia ${\displaystyle S.}$ W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień ${\displaystyle R}$ można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim ${\displaystyle \mathbb {Z} \times R}$ zdefiniować dwa działania:

${\displaystyle (n_{1},r_{1})+(n_{2},r_{2})=(n_{1}+n_{2},r_{1}+r_{2}),}$

${\displaystyle (n_{1},r_{1})\cdot (n_{2},r_{2})=(n_{1}n_{2},n_{1}r_{2}+n_{2}r_{1}+r_{1}r_{2}).}$

Łatwo sprawdzić, że struktura ${\displaystyle {\hat {R}}=\mathbb {Z} \times R}$ z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para ${\displaystyle (1,0)}$ jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

${\displaystyle \{(0,r):r\in R\}}$

jest podpierścieniem pierścienia ${\displaystyle {\hat {R}}}$ izomorficznym z ${\displaystyle R.}$ Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie ${\displaystyle R}$ w ${\displaystyle {\hat {R}}.}$ Pierścień ${\displaystyle R}$ jest przy tym ideałem pierścienia ${\displaystyle {\hat {R}}.}$

Jeśli oznaczyć ${\displaystyle (1,0)}$ jako ${\displaystyle 1,}$ to ${\displaystyle (n,r)}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ oraz ${\displaystyle r\in R,}$ można zapisać w postaci ${\displaystyle n\cdot 1+r.}$

Zobacz też

• moduł
• pierścień Boole’a
• półpierścień