Zanurzenie (matematyka)

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ obiektu ${\displaystyle A}$ w obiekt ${\displaystyle B}$ zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie ${\displaystyle B}$ podzbioru „identycznego” z obiektem ${\displaystyle A.}$

Teoria kategorii

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, Vect_K, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe^[1].

Teoria mnogości

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru ${\displaystyle A}$ w zbiór ${\displaystyle B}$ jest funkcja różnowartościowa ${\displaystyle f\colon A\to B.}$

Zbiór ${\displaystyle A}$ można wtedy utożsamić ze zbiorem ${\displaystyle f(A),}$ gdzie ${\displaystyle f(A)\subset B.}$

Twierdzenie

Jeśli dla zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ istnieją zanurzenia

${\displaystyle f\colon A\to B}$ i ${\displaystyle g\colon B\to A,}$

to istnieje funkcja różnowartościowa ${\displaystyle h\colon B\rightarrow A,}$ że

${\displaystyle h(B)=A}$^[2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód

Można założyć, że ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle B,}$ a funkcja ${\displaystyle f=id_{A}}$ realizuje to zawieranie. Niech ${\displaystyle Z_{n}}$ będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

${\displaystyle Z_{0}=B\setminus A,Z_{n+1}=g(Z_{n})\,{\text{dla }}n=0,1,2,\dots }$

Niech ${\displaystyle Z=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }Z_{n}.}$ Wtedy ${\displaystyle g(Z)=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }Z_{n}\subset A}$ oraz ${\displaystyle B\setminus Z=B\setminus (B\setminus A\cup g(Z))=A\setminus g(Z).}$

Funkcja

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{dla }}x\in Z\\x&{\text{dla }}x\in B\setminus Z\end{cases}}}$

jest bijekcją, bo

${\displaystyle Z\cap (B\setminus Z)=\varnothing ,}$

${\displaystyle h(Z)\cap h(B\setminus Z)=g(Z)\cap (A\setminus g(Z))=\varnothing ,}$

skąd wynika, że ${\displaystyle h}$ jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

${\displaystyle h(Z)\cup h(B\setminus Z)=g(Z)\cup (A\setminus g(Z))=A,}$

skąd wynika, że ${\displaystyle h}$ jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)^[3].

Topologia

Topologia ogólna

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle B}$ nazywa się odwzorowanie ${\displaystyle f\colon A\to B,}$ takie że przestrzeń ${\displaystyle A}$ jest homeomorficzna ze swoim obrazem ${\displaystyle f(A).}$

Przykłady

• Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamkniętą zwyczajną (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{3}.}$ Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni ${\displaystyle A,}$ znajdując odwzorowanie różnowartościowe ${\displaystyle f}$ (zanurzenie), takie że obrazem okręgu ${\displaystyle O}$ jest pewna krzywa ${\displaystyle \gamma =f(O)\in A.}$
• W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 2)
• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 3)
• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 5)

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem^[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowa

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle B}$ jest dyfeomorfizm ${\displaystyle f\colon A\to B.}$

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich

Zwarta ${\displaystyle k}$-wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości ${\displaystyle m>1}$ (tzn. ${\displaystyle m}$ razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową ${\displaystyle E^{2k+1}}$ o wymiarze ${\displaystyle 2k+1.}$ Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa ${\displaystyle m}$^[5].

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej ${\displaystyle A}$ w przestrzeń metryczną ${\displaystyle B}$ jest izometria ${\displaystyle f\colon A\to B.}$

Algebra

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup

Homomorfizm ${\displaystyle h\colon H\rightarrow G}$ grupy multiplikatywnej ${\displaystyle H}$ w grupę multiplikatywną ${\displaystyle G}$ jest zanurzeniem, jeśli ${\displaystyle \ker(h)=\{1\}.}$

Przykłady

• Grupę ${\displaystyle {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )}$ obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle \exp :R_{O}^{\alpha }\mapsto e^{i\alpha },}$

gdzie ${\displaystyle R_{O}^{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos {\alpha }&-\sin {\alpha }\\\sin {\alpha }&\cos {\alpha }\end{bmatrix}}\in {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )}$ dla kąta ${\displaystyle \alpha \in \langle 0;2\pi ).}$

Grupę ${\displaystyle {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )}$ można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \{e^{i\alpha }:\alpha \in \langle 0;2\pi )\}.}$

Teoria ciał

• Każdy homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon K\to P}$ ciała ${\displaystyle K}$ w pierścień przemienny niezerowy ${\displaystyle P}$ jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem ${\displaystyle K}$)^[6].
• W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ albo ciało ${\displaystyle p}$-elementowe ${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim – charakterystykę ${\displaystyle p}$^[7].
• Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym^[8].

Teoria pierścieni

• Każdy pierścień bez dzielników zera można zanurzyć w jego pierścień ułamków^[9].

Teoria modułów

• Niech ${\displaystyle P}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym ${\displaystyle S}$ w ${\displaystyle P}$ jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia^[10]. Niech ${\displaystyle M}$ będzie modułem nad pierścieniem ${\displaystyle P.}$ Na iloczynie kartezjańskim ${\displaystyle M\times S}$ można określić relację równoważności „${\displaystyle \equiv }$”:

${\displaystyle (m,s)\equiv (m^{1},s^{1})}$ ⇔ dla pewnego ${\displaystyle t\in S}$ zachodzi równość ${\displaystyle t(ms^{1}-m^{1}s)=0.}$

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je ${\displaystyle m/s,}$ a ich zbiór modułem ułamków ${\displaystyle S^{-1}M.}$ Podobnie można określić pierścień ułamków ${\displaystyle S^{-1}P.}$ Zbiór ${\displaystyle S^{-1}M}$ jest modułem nad pierścieniem ${\displaystyle S^{-1}P.}$ Wtedy jeśli

${\displaystyle f\colon N\to M}$ jest zanurzeniem modułu ${\displaystyle N}$ w moduł ${\displaystyle M,}$

to odwzorowanie

${\displaystyle S^{-1}f(n/s)=f(n)/s}$

jest zanurzeniem ${\displaystyle S^{-1}N}$ i ${\displaystyle S^{-1}M}$^[11].