Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy – wieloznaczne pojęcie matematyczne:

• okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1^[1][2];
• okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych o środku jego w początku, tzn. punkcie ${\displaystyle (0,0),}$ i promieniu 1^[3];
• zbiór liczb zespolonych o jednostkowym module: ${\displaystyle |z|=1}$^[4][5]. Nazwa jest związana z obrazem tego zbioru na płaszczyźnie zespolonej.

Okrąg jednostkowy w kartezjańskim układzie współrzędnych – zmienna ${\displaystyle t}$ jest miarą kąta

Ostatni z tych zbiorów jest grupą ze względu na mnożenie, nazywaną grupą okręgu^[4].

Często oznacza się go symbolem ${\displaystyle \mathrm {S} ^{1},}$ a jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa. Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości” (zob. przestrzeń unormowana).

Równania

Jeżeli ${\displaystyle (x,y)}$ jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ spełniają równanie:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Ponieważ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ dla każdego ${\displaystyle x,}$ a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów ${\displaystyle (x,y)}$ leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

• wykładniczą

${\displaystyle z(t)=e^{it},}$

• trygonometryczną

${\displaystyle z(t)=\cos(t)+i\sin(t).}$

Funkcje trygonometryczne

Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą być skonstruowane geometrycznie na okręgu jednostkowym o środku w punkcie O.

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli ${\displaystyle (x,y)}$ jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w ${\displaystyle (0,0)}$ i końcu w ${\displaystyle (x,y)}$ tworzy kąt ${\displaystyle t}$ z dodatnią półosią ${\displaystyle x}$ (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to:

${\displaystyle {\begin{cases}\cos(t)=x\\\sin(t)=y\end{cases}}}$

Równanie ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ daje wtedy zależność:

${\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1.}$

(Zapis ${\displaystyle \cos ^{2}(t)=(cos(t))^{2}}$ jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych).

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

${\displaystyle {\begin{cases}\cos(t)=\cos(2\pi k+t)\\\sin(t)=\sin(2\pi k+t)\end{cases}}}$

dla dowolnej liczby całkowitej ${\displaystyle k.}$

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne ${\displaystyle x,y}$ punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta ${\displaystyle t}$ o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od ${\displaystyle 0}$ i mniejszych od ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$ Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.

Dynamika zespolona

Okrąg jednostkowy w dynamice zespolonej

Zbiór Julii dyskretnego nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji:

${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}$

jest okręgiem jednostkowym. Jest to najprostszy przypadek i z tego powodu jest on szeroko stosowany w badaniach nad układami dynamicznymi.

Zobacz też

• miara kąta
• kwadrat jednostkowy
• okrąg Riemanna
• tożsamości trygonometryczne