Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy – wieloznaczne pojęcie matematyczne:

okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1^[1]^[2];
okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych o środku jego w początku, tzn. punkcie $(0,0),$ i promieniu 1^[3];
zbiór liczb zespolonych o jednostkowym module: $|z|=1$ ^[4]^[5]. Nazwa jest związana z obrazem tego zbioru na płaszczyźnie zespolonej.

{\displaystyle t} — Okrąg jednostkowy w kartezjańskim układzie współrzędnych – zmienna $t$ jest miarą kąta

Ostatni z tych zbiorów jest grupą ze względu na mnożenie, nazywaną grupą okręgu^[4].

Często oznacza się go symbolem $\mathrm {S} ^{1},$ a jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa. Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości” (zob. przestrzeń unormowana).

Jeżeli $(x,y)$ jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to $x$ i $y$ są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa $x$ oraz $y$ spełniają równanie:

x^{2}+y^{2}=1.

Ponieważ $x^{2}=(-x)^{2}$ dla każdego $x,$ a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów $(x,y)$ leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

wykładniczą

z(t)=e^{it},

trygonometryczną

z(t)=\cos(t)+i\sin(t).

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli $(x,y)$ jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w $(0,0)$ i końcu w $(x,y)$ tworzy kąt $t$ z dodatnią półosią $x$ (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to:

{\begin{cases}\cos(t)=x\\\sin(t)=y\end{cases}}

Równanie $x^{2}+y^{2}=1$ daje wtedy zależność:

\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1.

(Zapis $\cos ^{2}(t)=(cos(t))^{2}$ jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych).

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

{\begin{cases}\cos(t)=\cos(2\pi k+t)\\\sin(t)=\sin(2\pi k+t)\end{cases}}

dla dowolnej liczby całkowitej $k.$

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne $x,y$ punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta $t$ o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od $0$ i mniejszych od ${\tfrac {\pi }{2}}.$ Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.