Butelka Kleina

Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu, przykład rozmaitości topologicznej dwuwymiarowej. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

Ilustracja butelki Kleina w przestrzeni trójwymiarowej.

Trzy butelki Kleina (jedna w drugiej) jako eksponat w Muzeum Nauki w Londynie

Pomnik butelki Kleina przy budynku Uczelni Państwowej im. Szymona Szymonowica w Zamościu.

Geneza nazwy

Nazwa tej powierzchni powstała najprawdopodobniej wskutek pomyłki tłumacza – w niemiec­kiej nazwie „powierzchnia Kleina” (niem. die Kleinsche Fläche) wyraz die Fläche (powierzchnia) pomylono z podobnie brzmiącym die Flasche (butelka). Ponieważ jednak nowa nazwa upowszechniła się w świecie i dobrze kojarzy się z kształtem powierzchni, przyjęła się również w Niemczech. Słowo „butelka” zostało tym łatwiej zaakceptowane, że naczynie będące jej trójwymiarowym rzutem nadaje się do przechowywania cieczy. Umiarkowanie napełnioną butelkę da się bez wylania zawartości ustawić wlotem w dół, pod warunkiem przechylania jej w odpowiednią stronę.

Topologia butelki Kleina

Butelkę Kleina najprościej można definiować jako prostokąt, w którym utożsamiono (sklejono) parami odpowiednie punkty przeciwległych boków, przy czym jedna para została skręcona o 180°. Na ilustracji: boki oznaczone kolorami, z uwzględ­nieniem orientacji (strzałki).

Butelkę Kleina można włożyć w przestrzeń czterowymiarową R⁴. Nie daje się jej jednak włożyć w przestrzeń trójwymiarową – prowadzi to do pojawienia się samoprzecięć powierzchni. Proces konstrukcji w R³ pokazuje ciąg ilustracji:

Butelkę Kleina można też skonstruować sklejając ze sobą brzegi dwóch wstęg Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0.

Zobacz też

• torus
• topologia

Linki zewnętrzne

Zobacz galerię związaną z tematem: Butelka Kleina

• MichałM. Miśkiewicz MichałM., Z butelki Kleina i Salomon nie naleje?, „Delta”, marzec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Klein Bottle, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
• Klein surface (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• Acme Klein Bottle (ang.) – firma Clifforda Stolla sprzedająca szklane butelki Kleina

Encyklopedie internetowe (surface):

• Britannica: topic/Klein-bottle
• DSDE: Kleins_flaske