Funktor (teoria kategorii)

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe^{[uwaga 1]}. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945^[1].

Definicje

Funktor (czyli funktor kowariantny) ${\displaystyle F}$ z kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{2}}$ to dwa przyporządkowania:

• jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z ${\displaystyle \mathrm {Ob} {\mathfrak {K}}_{1}}$ do ${\displaystyle \mathrm {Ob} {\mathfrak {K}}_{2},}$ które każdemu obiektowi ${\displaystyle X}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ przyporządkowuje obiekt ${\displaystyle F(X)}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{2},}$
• drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z ${\displaystyle \mathrm {Morf} {\mathfrak {K}}_{1}}$ do ${\displaystyle \mathrm {Morf} {\mathfrak {K}}_{2},}$ które każdemu morfizmowi ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ przyporządkowuje morfizm ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{2}.}$

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

• dla każdego obiektu ${\displaystyle X}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ zachodzi ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)},}$
• dla każdych dwóch morfizmów ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ zachodzi ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).}$

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }}$ oznacza kategorię dualną do ${\displaystyle {\mathfrak {K}}.}$ Przez funktor kontrawariantny z ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{2}}$ rozumiemy funktor kowariantny z ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}^{\mathrm {op} }}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{2}.}$ Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania^{[uwaga 2]}.

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}_{1}\times \ldots \times {\mathfrak {K}}_{n}.}$ W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ i ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {C}}}$ są dwoma funktorami, to ich złożenie ${\displaystyle \Psi \circ \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {C}}}$ powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych ${\displaystyle \Psi \circ \Phi (A)=\Psi \left(\Phi (A)\right)}$ dla ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}}$ i przyporządkowań morfizmowych ${\displaystyle \Psi \circ \Phi (\alpha )=\Psi \left(\Phi (\alpha )\right)}$ dla ${\displaystyle \alpha \colon A_{1}\to A_{2}}$ w ${\displaystyle \mathrm {Morf} {\mathfrak {A}}.}$

Funktor ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ nazywa się izomorfizmem kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ i ${\displaystyle {\mathfrak {B}},}$ gdy istnieje funktor ${\displaystyle \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ taki, że oba złożenia ${\displaystyle \Psi \circ \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}}$ i ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania ${\displaystyle A\mapsto \Phi (A),}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \Phi (\alpha )}$ są bijekcjami^[2].

Przykłady funktorów

• Niech ${\displaystyle G_{X}}$ oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór ${\displaystyle X}$ jej wolnych generatorów, ${\displaystyle X\subset G.}$ Wówczas każda funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu ${\displaystyle F(f)\colon G_{X}\to G_{Y}.}$ W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów)^{[uwaga 3]}.
• Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie ${\displaystyle G}$ jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi ${\displaystyle f\colon G\to H}$ tę samą funkcję z ${\displaystyle G}$ do ${\displaystyle H,}$ otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect_{${\displaystyle \mathbb {R} }$} do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
• Funktor ${\displaystyle -\!\!\!\times \!\!B}$ z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór ${\displaystyle B}$ przyporządkowuje każdemu zbiorowi ${\displaystyle X}$ zbiór ${\displaystyle \Phi (X)=X\times B,}$ a każdej funkcji ${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$ przyporządkowuje funkcję ${\displaystyle \Phi (\alpha )\colon X\times B\to Y\times B}$ zdefiniowaną jako ${\displaystyle \Phi (\alpha )(x,b)=(\alpha (x),b)}$ dla ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle b\in B.}$ Analogicznie dla ustalonego obiektu ${\displaystyle A}$ definiuje się funktor ${\displaystyle A\!\!\times \!\!\!-}$ z Set do Set.
• Bifunktor ${\displaystyle -\!\!\!\times \!\!\!-}$ z Set${\displaystyle \times }$Set do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów ${\displaystyle X,Y}$ zbiór ${\displaystyle \Phi (X,Y)=X\times Y,}$ a każdej parze funkcji ${\displaystyle \alpha \colon X_{1}\to X_{2},}$ ${\displaystyle \beta \colon Y_{1}\to Y_{2}}$ przyporządkowuje funkcję ${\displaystyle \Phi (\alpha ,\beta )\colon X_{1}\times Y_{1}\to X_{2}\times Y_{2}}$ zdefiniowaną jako ${\displaystyle \Phi (\alpha ,\beta )(x_{1},y_{1})=(\alpha (x_{1}),\beta (y_{1}))}$ dla ${\displaystyle x_{1}\in X_{1},}$ ${\displaystyle y_{1}\in Y_{1}.}$
• Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główne

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ będzie kategorią. Jeśli ${\displaystyle A,B}$ są jej obiektami, oznaczmy przez ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A,B)}$ lub ${\displaystyle \mathrm {Morf} _{\mathfrak {K}}(A,B)}$ zbiór wszystkich morfizmów z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B.}$ Wymaga to założenia, że ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami)^{[uwaga 4]}.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie ustalonym obiektem. Jeżeli ${\displaystyle \beta \colon B_{1}\to B_{2}}$ jest morfizmem w ${\displaystyle {\mathfrak {K}},}$ to dla każdego ${\displaystyle \alpha \colon A\to B_{1}}$ należącego do ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A,B_{1})}$ złożenie ${\displaystyle \beta \alpha \colon A\to B_{2}}$ należy do ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A,B_{2}).}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A,\beta )}$ opisane tu przyporządkowanie ${\displaystyle \alpha \mapsto \beta \alpha .}$ Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ do Set, oznaczany ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A,-);}$ jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt ${\displaystyle A}$^{[uwaga 5]}. Bywa też zwany hom-functor(inne języki) (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany

${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$ lub ${\displaystyle {\mathfrak {K}}(A,-),}$ lub ${\displaystyle (A,-)_{\mathfrak {K}},}$ lub ${\displaystyle \mathrm {Morf} _{\mathfrak {K}}(A,-).}$

Jeśli ${\displaystyle B}$ jest ustalonym obiektem kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}},}$ to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny ${\displaystyle \mathrm {Morf} (-,B),}$ przyporządkowujący każdemu morfizmowi ${\displaystyle \alpha \colon A_{1}\to A_{2}}$ przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {Morf} (\alpha ,B)}$ przyporządkowujące morfizmom ${\displaystyle \beta \colon A_{2}\to B}$ należącemu do ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A_{2},B)}$ złożenie ${\displaystyle \beta \alpha \colon A_{1}\to B}$ należące do ${\displaystyle \mathrm {Morf} (A_{1},B).}$

Można też rozważać bifunktor główny ${\displaystyle \mathrm {Morf} (-,\!-)}$ z ${\displaystyle {\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }\times {\mathfrak {K}}}$ do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełne

Załóżmy, że ${\displaystyle \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie ${\displaystyle \Phi }$ do zbioru ${\displaystyle \mathrm {Morf} _{\mathfrak {A}}(A_{1},A_{2}),}$ otrzymamy funkcję ${\displaystyle \Phi _{A_{1},A_{2}}}$ z tego zbioru do ${\displaystyle \mathrm {Morf} _{\mathfrak {B}}(\Phi (A_{1}),\Phi (A_{2})).}$ Mówimy, że funktor ${\displaystyle \Phi }$ jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów ${\displaystyle (A_{1},A_{2})}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ indukowana funkcja ${\displaystyle \Phi _{A_{1},A_{2}}}$ jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny ${\displaystyle \Phi }$ nie jest iniektorem, tzn. warunek ${\displaystyle \alpha _{1}\neq \alpha _{2}}$ nie pociąga tego, że ${\displaystyle \Phi (\alpha _{1})\neq \Phi (\alpha _{2}).}$ Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ i ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor ${\displaystyle \Phi }$ jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów ${\displaystyle (A_{1},A_{2})}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ indukowana funkcja ${\displaystyle \Phi _{A_{1},A_{2}}}$ jest suriekcją. Funktor zapominania Top→Set nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru ${\displaystyle \mathrm {Morf} _{\mathbf {Top} }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ są funkcje nieciągłe. Podkategoria ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$ jest pełny^[3][4].

Zobacz też

• teoria kategorii
• kategoria (matematyka)
• transformacja naturalna
• funktory sprzężone

Uwagi

1. O historii wprowadzenia terminu funktor w teorii kategorii pisze Zbigniew Semadeni w artykule Creating new concepts in mathematics: freedom and limitations. The case of Category Theory, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce 69 (2020), s. 49–50.
2. Inne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w Teoria kategorii#Funktory oraz Funktory sprzężone#Funktory sprzężone kontrawariantne.
3. Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części grupy wolne w Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji.
4. Kwestia ta omówiona jest w Teoria kategorii#Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.
5. Nazwa funktor główny jest analogiczna do nazwy ideał główny w pierścieniu Boole’a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór ${\displaystyle A}$, czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.

Przypisy

1. Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: s. 231–294; http://web.archive.org/web/20140907123850/http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf
2. Mac Lane 1971 ↓, s.14.
3. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 1.9.3..
4. Mac Lane 1971 ↓, s. 15.

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

Literatura dodatkowa

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. T. 63. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-06260-6.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
• Functor (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Encyklopedie internetowe (funkcja):

• Britannica: topic/functor
• Treccani: funtore