Twierdzenie Hilberta o bazie

Twierdzenie Hilberta o bazie – twierdzenie mówiące, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów^[1].

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie

1. Niech ${\displaystyle P[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ będzie pierścieniem wielomianów ${\displaystyle n}$ zmiennych o współczynnikach z pierścienia ${\displaystyle P.}$ Jeśli ${\displaystyle P}$ jest pierścieniem noetherowskim, to ${\displaystyle P[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ również jest pierścieniem noetherowskim^[2][3].
2. Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia ${\displaystyle P}$ jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia ${\displaystyle P[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ jest skończony^[2].

Przypisy

1. van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967. Brak numerów stron w książce; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439–444.
2. Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969. Brak numerów stron w książce; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99–102.
3. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 178, Twierdzenie 62.

Bibliografia

• Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969. Brak numerów stron w książce
• van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967. Brak numerów stron w książce

Encyklopedie internetowe (twierdzenie):

• DSDE: Hilberts_basissætning