Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole’a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli ale w częstym użyciu są również oraz Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole’a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par albo W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami jak i
System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany, między innymi, w podręczniku Heleny Rasiowej.
W badaniach teoriomnogościowych aspektów algebr Boole’a przeważa tradycja używania oznaczeń [potrzebnyprzypis]. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografiiHandbook of Boolean Algebras.
Z kolei symbole zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych)[potrzebnyprzypis].
Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce lub zamiast ). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce oraz W języku C oraz w językach nim inspirowanych używa się odpowiednio symboli: |, &,!.
Minimalna aksjomatyzacja
Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole’a nie jest minimalna, np.[potrzebnyprzypis]:
nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki, a nie niezbędną dla niej definicją. 0 można zastąpić przez a 1 przez
dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie lub ;}
wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR).
Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole’a. Przykładowy układ niezależnych aksjomatów to:
jest przemienne
jest łączne
aksjomat Huntingtona:
Inny taki układ to:
jest przemienne
jest łączne
aksjomat Robbinsa:
Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.
Najprostsza algebra Boole’a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:
wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią rachunku zdań.
Można sprawdzić, że jest relacją równoważności na zbiorze Na zbiorze wszystkich klas abstrakcji relacji można wprowadzić operacje przez następujące formuły:
W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze (tzn. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.
Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie i niech będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Relację dwuargumentową na zbiorze można wprowadzić przez określenie
wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas jest relacją równoważności na zbiorze Podobnie jak wcześniej:
Można pokazać, że jest algebrą Boole’a.
Niech będzie algebrą Boole’a. Dla wszystkich zachodzi:
Niepusty zbiór jest ideałem w algebrze , jeśli są spełnione następujące dwa warunki:
oraz
Każdy ideał zawiera element Ideał, który nie zawiera elementu nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe
Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór jest filtrem w algebrze jeśli:
oraz
Każdy filtr zawiera element Filtr, który nie zawiera elementu nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe
Niech będzie właściwym ideałem w algebrze Niech będzie relacją dwuczłonową na taką, że
wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas jest relacją równoważności na W zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania
Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez
Niech będzie algebrą Boole’a i niech będzie funkcją odwzorowującą w Mówimy, że funkcja jest homomorfizmem algebr Boole’a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich zachodzą trzy równości:
Jeśli jest ideałem w algebrze to odwzorowanie jest homomorfizmem.
Jeśli jest algebrą Boole’a oraz jest homomorfizmem na to jest ideałem w algebrze a algebra ilorazowa jest izomorficzna z
Autodualność
Niech (operacje i zostały zamienione rolami, podobnie jak stałe 0 i 1). Wtedy także jest algebrą Boole’a izomorficzną z wyjściową algebrą Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B) i jest dany wzorem:
dla dowolnego
Algebry wolne
Algebra Boole’a jest wolna, jeśli pewien zbiór ma następującą własność:
dla każdej algebry Boole’a i każdego odwzorowania istnieje dokładnie jeden homomorfizm z algebry w algebrę przedłużający (czyli taki, że ).
Zbiór o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry Jeśli moc zbioru jest to mówimy, że jest wolną algebrą Boole’a z generatorami.
Skończona algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona elementów (dla ). Algebra mocy jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z elementami i jako taka ma wolnych generatorów.
Nieskończona przeliczalna algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym:
Zupełne algebry Boole’a
Działania nieskończone
Ponieważ w algebrze Boole’a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).
Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole’a są oznaczane przez (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru (gdy istnieje) jest oznaczany przez a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są to kresy oznaczane są przez
Dla zbioru pustego:
oraz
Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:
oraz
Ponadto jeśli to:
wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz
wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz
Zupełność
Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a
każdy podzbiór ma kres górny;
każdy podzbiór ma kres dolny.
Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Zupełne algebry Boole’a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.
Niech będzie liczbą kardynalną, a będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że algebra jest -zupełna, jeśli każdy zbiór mocy mniejszej niż ma kres górny (tzn. istnieje ilekroć ). Równoważnie: algebra jest -zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór o mocy mniejszej niż ma kres dolny (tzn. ). Algebry -zupełne są też nazywane algebrami -zupełnymi.
Każda skończona algebra Boole’a jest izomorficzna z całymzbiorem potęgowym dla pewnego
XIX wiek
Nazwa „algebra Boole’a” pochodzi od nazwiska George’a Boole’a (1815–1864), angielskiego matematyka samouka. Wprowadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej w niewielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku. W późniejszej książce The Laws of Thought (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩. Dalszy rozwój algebra Boole’a zawdzięcza Williamowi Jevonsowi i Charlesowi Peirce’owi, których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku. W 1890 w Vorlesungen (Wykłady) Ernsta Schrödera pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole’a i krat rozdzielnych. Dokładniejsze badania algebr Boole’a podjął Alfred North Whitehead w wydanym w 1898 roku dziele Universal Algebra (Algebra ogólna).
XX wiek
Algebra Boole’a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach Huntingtona. Garrett Birkhoff w Lattice Theory (1940) rozwinął teorię krat. W latach sześćdziesiątych Paul Cohen, Dana Scott i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody forsingu osadzonej w teorii algebr Boole’a.
Z pojęciem algebry Boole’a związane jest pojęcie pierścienia Boole’a. Pierścień Boole’a to pierścień przemienny z jedynką w którym mnożenie spełnia warunek
dla każdego elementu
W pierścieniu Boole’a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość: Dowód:
więc
Wynika stąd, że:
oraz
Niech będzie algebrą Boole’a. Jeżeli w zbiorze określi się operację alternatywy wykluczającej (różnicy symetrycznej) przez
to będzie pierścieniem Boole’a; za mnożenie przyjmuje się
I na odwrot – niech będzie pierścieniem Boole’a. Jeżeli zdefiniuje się operacje i na przez
i
to :=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)}
będzie algebrą Boole’a spełniającą
Uogólnieniem algebr Boole’a są algebry pseudoboolowskie, zwane też algebrami Heytinga, w których z aksjomatów usunięte jest prawo wyłączonego środka
Rozpatrywane są też algebry Boole’a z dodatkowymi strukturami. Należą do nich:
GarrettBirkhoff,Thomas C.Bartee:Współczesna algebra stosowana.Warszawa:Państwowe Wydawnictwo Naukowe,1983,seria:Matematyka dla Politechnik. ISBN83-01-04560-4. Brak numerów stron w książce
WinfriedJust,MartinWeese:Discovering modern set theory.T.2:Set-theoretic tools for every mathematician.Providence, RI:American Mathematical Society,1997,seria:Graduate Studies in Mathematics, 18. ISBN0-8218-0528-2. Brak numerów stron w książce
SabineKoppelberg:Handbook of Boolean algebras.J. Donald Monk i Robert Bonnet (red.).T.1,2,3.Amsterdam:North-Holland Publishing Co.,1989. ISBN0-444-70261-X. Brak numerów stron w książce
KazimierzKuratowski,AndrzejMostowski:Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości.Wyd.3.Warszawa:Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN),1978,seria:Monografie Matematyczne 27. Brak numerów stron w książce
J. DonaldMonk:Cardinal invariants on Boolean algebras.Basel:Birkhäuser Verlag,1996,seria:Progress in Mathematics, 142. ISBN3-7643-5402-X. Brak numerów stron w książce
HelenaRasiowa:Wstęp do matematyki współczesnej.Warszawa:Państwowe Wydawnictwo Naukowe,1973,seria:Biblioteka Matematyczna t. 30. Brak numerów stron w książce
RomanSikorski:Boolean Algebras (wydanie 3).Springer Verlag; Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Neue Folge. Band 25,1969 (wyd. 1 – 1960). Brak numerów stron w książce
HelenaRasiowa,RomanSikorski:The mathematics of metamathematics.Warszawa:Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN),1963,seria:Monografie Matematyczne 41. Brak numerów stron w książce
Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Boolean Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-25].
Boolean Algebra(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].