Porządek zupełny

Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.

Zupełność porządków liniowych

W teorii mnogości pojęcie zupełności rozważa się zwykle dla porządków liniowych. Własność ta stwierdza, że żaden przekrój Dedekinda w danym porządku nie wyznacza "luki" i była ona wprowadzona przez Richarda Dedekinda w 1872^[1][2]. Z tego powodu czasami mówi się o porządkach zupełnych w sensie Dedekinda.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem liniowym. Powiemy, że porządek ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ma kres górny. Równoważnie, porządek liniowy ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli każdy jego niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.

Kraty zupełne

Krata jest zupełna jeśli, kiedy rozważamy ją jako zbiór częściowo uporządkowany, każdy jej podzbiór ma kres górny oraz kres dolny.

Niektórzy autorzy^[3] formułują tę definicję dla porządków częściowych, określając porządki zupełne jako takie, w których każdy podzbiór ma oba (górny i dolny) kresy. Porządek zupełny jest wtedy tym samym co krata zupełna.

Zupełność posetów

W teorii porządków częściowych rozważa się następującą definicję zupełności^[4] motywowaną zastosowaniami w teoretycznej informatyce.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem częściowym.

• Niepusty podzbiór ${\displaystyle Y\subseteq X}$ jest skierowany jeśli każde dwa elementy zbioru ${\displaystyle Y}$ mają wspólne ograniczenie górne w tym zbiorze.
• Powiemy, że porządek ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jest zupełny jeśli ma on element najmniejszy oraz każdy podzbiór skierowany ma kres górny.

Zobacz też

• aksjomat ciągłości

Przypisy

1. Richard Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen. 1872. Brak numerów stron w książce
2. Eseje Stetigkeit und Irrationale Zahlen i Was sind und was sollen die Zahlen? zostały w wersji angielskiej wydane w Richard Dedekind: Essays on the Theory of Number. tłum: W. W. Beman. Londyn: The Open Court Publishing Company, 1924, s. 19-20.
3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, s. 93, seria: Monografie Matematyczne 27.
4. Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1997. Brak numerów stron w książce Strona 64 w pliku PostScript dostępnym ze strony autora.