르베그 공간

함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 L^p 공간(영어: L^p-space)은 절댓값의 ${\displaystyle p}$ 제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의

측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 음이 아닌 확장된 실수 ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간이며, 그 정의는 ${\displaystyle p}$의 값에 따라 다음과 같다.

L^p (0 < p ≤ ∞)

${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ 및 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }$에 대하여 다음 기호를 정의하자.

${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}}$

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \|f\|_{p}<\infty \}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(X;Y)}$는 두 측도 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 가측 함수의 집합이며, ${\displaystyle \mathbb {K} }$의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

${\displaystyle (\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}$

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$라고 한다.^{[1]:43, §II.2[2]:31, §1.43; 35, §1.47}

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{(\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)}}}$

이 위에는 "열린 공"들

${\displaystyle \left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}}$

${\displaystyle \operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}}$

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, ${\displaystyle p<1}$이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 ${\displaystyle p\geq 1}$이라면, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$ 위의 완비 노름을 이루며, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 ${\displaystyle p<1}$이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L⁰

${\displaystyle p=0}$인 경우, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )}$은 모든 가측 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$의 (동치류의) 공간이다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}$에

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}}$

를 정의하였을 때

${\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}{\mathcal {N}}}}$

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

${\displaystyle \{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }}$

${\displaystyle d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\mathrm {d} \mu }$

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

ℓ^p

만약 ${\displaystyle X}$가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 ${\displaystyle \mathbb {N} }$일 경우,

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N}$ ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )}

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$와 ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(\mathbb {N}$ ;\mathbb {K} )} 는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$값을 갖는 수열이 되고, 노름 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}}$

성질

민코프스키 부등식

만약 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$일 경우, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}$

만약 ${\displaystyle 0<p<1}$일 경우, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.^[3]:816

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}$

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$에 대하여

${\displaystyle (s+t)^{p}\leq s^{p}+t^{p}\leq 2^{1-p}(s+t)^{p}}$

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

${\displaystyle (\|f+g\|_{p})^{p}=\int _{X}|f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|+|g|)^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|^{p}+|g|^{p})\mathrm {d} \mu =(\|f\|_{p})^{p}+(\|g\|_{p})^{p}\leq 2^{1-p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^{p}}$

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건

임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 ${\displaystyle p\in [0,\infty ]}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$라면 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이다.
• 만약 ${\displaystyle 1<p<\infty }$라면 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반사 바나흐 공간이다. (그러나 ${\displaystyle p=1}$ 또는 ${\displaystyle p=\infty }$인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
• 만약 ${\displaystyle p=2}$일 경우 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간이다. (그러나 ${\displaystyle X}$의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
• 만약 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$이며 ${\displaystyle p=\infty }$일 경우 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$는 가환 C* 대수이다. 만약 ${\displaystyle X}$가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ 및 ${\displaystyle 1<p<\infty }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle (\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)}$

구체적으로, 이 동형 사상은

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)}$

이다. 특히, ${\displaystyle p=2}$일 경우 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}}$는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }}$의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}}$보다 훨씬 크다. 반면, 만약 ${\displaystyle X}$가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, ${\displaystyle (\operatorname {L} ^{1})'=\operatorname {L} ^{\infty }}$이다.

포함 관계

임의의 두 확장된 실수

${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㈎ ${\displaystyle \sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty }$

㈏ ${\displaystyle \inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0}$

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.^[4]

㈎ ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

㈏ ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

㈎와 ㈏가 동시에 성립 ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간	㈎	㈏
유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 르베그 측도 (${\displaystyle n>0}$)	❌	❌
유한 집합 위의 셈측도	⭕	⭕
무한 집합 위의 셈측도	❌	⭕
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합	⭕	❌

예

유한 집합

${\displaystyle X}$가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}}$

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 ${\displaystyle X}$의 크기이다.

${\displaystyle p}$의 값에 따라, ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

${\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|}$

만약 ${\displaystyle p=2}$일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, ${\displaystyle |X|\geq 2}$이자 ${\displaystyle 1\leq p\neq 2}$일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간

${\displaystyle X=\mathbb {N} }$일 경우, ${\displaystyle p}$의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )}$ 공간의 성질은 다음과 같다.

${\displaystyle p}$의 범위	${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )}$의 성질
${\displaystyle 0\leq p<1}$	${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 (${\displaystyle \mathbb {K} }$-국소 볼록 공간이 아님)
${\displaystyle 1\leq p<2}$	${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간
${\displaystyle p=2}$	분해 가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간
${\displaystyle 2<p\leq \infty }$	${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간

디랙 측도

 이 부분의 본문은 디랙 델타 함수입니다.

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 원소 ${\displaystyle x_{0}\in X}$가 주어졌으며,

${\displaystyle \mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} }$

${\displaystyle \|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )}$

역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

${\displaystyle \ell ^{2}}$ 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).^{[5]:V.83, Note historique} 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.^{[5]:V.84, Note historique} 힐베르트의 이론을 ${\displaystyle p\neq 2}$로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.^{[6]:§3, 457–459[5]:V.86, Note historique} 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}}$를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 ${\displaystyle {\operatorname {L} ^{p}}'=\operatorname {L} ^{q}}$ (${\displaystyle 1/p+1/q=1}$)을 증명하였다.

같이 보기

• 소볼레프 공간