이산 공간

일반위상수학에서 이산 공간(離散空間, 영어: discrete space)은 모든 부분집합이 열린집합인 위상 공간이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

정의

이산 공간의 개념은 순수하게 일반위상수학적으로 정의할 수 있으며, 대신 범주론적으로, 또는 기하학적으로 정의할 수도 있다.

위상수학적 정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 이산 공간이라고 한다.

• ${\displaystyle X}$ 위의 위상은 그 멱집합이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합이 열린집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 모든 한원소 집합은 열린집합이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 조밀 집합은 ${\displaystyle X}$ 전체 밖에 없다.
• ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle X}$를 공역으로 하는 연속 함수는 국소 상수 함수 밖에 없다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{U}}$가 상수 함수인 근방 ${\displaystyle U\ni y}$가 존재한다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 점렬 ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}$이 수렴한다면, ${\displaystyle x_{N}=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots }$가 되는 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
• 국소 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.
• 국소 경로 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T1 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	TD 공간

범주론적 정의

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }$는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} }$

${\displaystyle D\dashv F}$

를 가지며, 이 함자를 이산 함자라고 한다. 집합 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle D}$에 대한 상 ${\displaystyle I(S)}$는 ${\displaystyle S}$ 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 오른쪽 수반 함자는 비이산 공간 함자이다.)

기하학적 정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위에는 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}}$

이 거리 함수를 이산 거리 함수(離散距離函數, 영어: discrete metric)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간을 이산 거리 공간(離散距離空間, 영어: discrete metric space)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 초거리 공간을 이룬다.

성질

이산 공간에서는 모든 부분 집합이 열린닫힌집합이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 제1 가산 공간이다.
• 국소 콤팩트 공간이다.
• 하우스도르프 공간이다.
• 완전 정규 공간이다.
• 거리화 가능 공간이다.
• 다양체(=파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)이다. (그러나 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.)

이산 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle X}$는 유한 집합이다.

이산 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 제2 가산 공간이다.
• ${\displaystyle X}$는 가산 집합이다.

두 이산 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$는 서로 위상 동형이다.
• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.

예

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• T₁ 공간이다.
• 이산 공간이다.

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이산 공간이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \inf _{y\in X\setminus \{x\}}d(x,y)>0}$이다.

임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))}$은 이산 공간이다. (${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))}$의 점의 수는 ${\displaystyle n}$의 소인수의 수와 같다.)

같이 보기

• 기둥 집합
• 맨해튼 거리

외부 링크

• “Discrete topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Discrete space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.