일반위상수학 에서 열린집합 (-集合, 영어 : open set ) 또는 개집합 (開集合)은 스스로의 경계 를 전혀 포함하지 않는, 위상 공간 의 부분 집합 이다. 마찬가지로, 닫힌집합 (-集合, 영어 : closed set ) 또는 폐집합 (閉集合)은 스스로의 경계를 모두 포함하는, 위상 공간의 부분 집합이다. 열린집합은 닫힌집합의 여집합 이며, 반대로 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.
원판의 내부 , 즉 원의 중심으로부터 반지름 미만의 거리에 위치한 점들의 집합은 열린집합이다. 반대로, 경계를 포함하는 원판, 즉 원의 중심으로부터 반지름 이하의 거리에 위치한 점들의 집합은 닫힌집합이다. 이름과 달리, 열린집합과 닫힌집합의 개념은 서로 반대말 이 아니다. 즉, 주어진 부분 집합은 동시에 열린집합이자 닫힌집합일 수 있으며, 이러한 부분 집합을 열린닫힌집합 (-集合, 영어 : clopen set ) 또는 개폐집합 (開閉集合)이라고 한다.
위상 공간의 정의에서, 열린집합의 개념은 보통 무정의 개념으로 간주된다. 즉, 위상 공간은 특정한 집합족
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle X}
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
동치 이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 열린집합 이라고 한다.
(닫힌집합을 통한 정의)
X
∖
U
{\displaystyle X\setminus U}
(내부 를 통한 정의)
U
=
int
U
{\displaystyle U=\operatorname {int} U}
(폐포 를 통한 정의)
U
=
X
∖
cl
(
X
∖
U
)
{\displaystyle U=X\setminus \operatorname {cl} (X\setminus U)}
(경계 를 통한 정의)
U
∩
∂
U
=
∅
{\displaystyle U\cap \partial U=\varnothing }
(극한점 을 통한 정의)
a
c
c
p
t
2
(
X
∖
U
)
∩
U
≠
∅
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}(X\setminus U)\cap U\neq \varnothing }
a
c
c
p
t
2
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}}
극한점 의 집합이다.
(밀착점 을 통한 정의)
a
c
c
p
t
1
(
X
∖
U
)
=
X
∖
U
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}(X\setminus U)=X\setminus U}
a
c
c
p
t
1
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}}
밀착점 의 집합이다. 마찬가지로, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
F
⊆
X
{\displaystyle F\subseteq X}
동치 이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 닫힌집합 이라고 한다.
(열린집합을 통한 정의)
X
∖
F
{\displaystyle X\setminus F}
(폐포 를 통한 정의)
F
=
cl
F
{\displaystyle F=\operatorname {cl} F}
(내부 를 통한 정의)
F
=
X
∖
int
(
X
∖
F
)
{\displaystyle F=X\setminus \operatorname {int} (X\setminus F)}
(경계 를 통한 정의)
∂
F
⊆
F
{\displaystyle \partial F\subseteq F}
(극한점 을 통한 정의)
a
c
c
p
t
2
(
F
)
⊆
F
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}(F)\subseteq F}
a
c
c
p
t
2
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}}
극한점 의 집합이다.
(밀착점 을 통한 정의)
a
c
c
p
t
1
(
F
)
=
F
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}(F)=F}
a
c
c
p
t
1
{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}}
밀착점 의 집합이다. 위상 공간
X
{\displaystyle X}
집합족 은
Σ
1
0
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)}
집합족 은
Π
1
0
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)}
보렐 위계 의 일부에서 유래한다.)
주어진 부분 집합을 포함하는 최소의 닫힌집합을 그 폐포 내부
어떤 위상 공간
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}
부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
동치 이며, 이를 만족시키는 집합을 열린닫힌집합 이라고 한다.
S
{\displaystyle S}
{
S
,
X
∖
S
}
⊆
T
{\displaystyle \{S,X\setminus S\}\subseteq {\mathcal {T}}}
[1] :4, §1.6
S
{\displaystyle S}
S
=
int
(
cl
S
)
=
cl
(
int
S
)
{\displaystyle S=\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)=\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)}
∂
S
=
∅
{\displaystyle \partial S=\varnothing }
S
{\displaystyle S}
경계 는 공집합 이다.[2] :87, Exercise 3.4.7
S
{\displaystyle S}
S
⊆
int
(
cl
(
S
)
)
{\displaystyle S\subseteq \operatorname {int} (\operatorname {cl} (S))}
[3] :§2 위상 공간
X
{\displaystyle X}
집합족 은
Δ
1
0
(
X
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(X)}
보렐 위계 의 일부에서 유래한다.)
위상 공간
X
{\displaystyle X}
부분 집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
동치 이며, 이를 만족시키는 부분 집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
정칙 열린집합 (正則-集合, 영어 : regular open set )이라고 한다.
스스로의 폐포 의 내부 와 일치한다. 즉,
U
=
int
(
cl
U
)
{\displaystyle U=\operatorname {int} (\operatorname {cl} U)}
[4] :29, Problem 3D [5] :6, §I.1 [6] :50, Exercise 8.30
U
=
int
(
F
)
{\displaystyle U=\operatorname {int} (F)}
F
⊆
X
{\displaystyle F\subseteq X}
정칙 닫힌집합의 여집합 이다. 마찬가지로, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
부분 집합
F
⊆
X
{\displaystyle F\subseteq X}
동치 이며, 이를 만족시키는 부분 집합
F
⊆
X
{\displaystyle F\subseteq X}
정칙 닫힌집합 (正則-集合, 영어 : regular closed set )이라고 한다.
스스로의 내부 의 폐포 와 일치한다. 즉,
F
=
cl
(
int
F
)
{\displaystyle F=\operatorname {cl} (\operatorname {int} F)}
[4] :29, Problem 3D [5] :6, §I.1 [6] :50, Exercise 8.30
F
=
cl
(
U
)
{\displaystyle F=\operatorname {cl} (U)}
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
정칙 열린집합의 여집합 이다.
위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
임의의 위상 공간에서, 열린집합·닫힌집합·열린닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합들은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.[4] :29, Problem 3D
자세한 정보 집합족, 유한 교집합에 대해 닫힘 ...
집합족 유한 교집합 에 대해 닫힘 임의의 교집합 에 대해 닫힘 유한 합집합 에 대해 닫힘 임의의 합집합 에 대해 닫힘 여집합 에 대해 닫힘연속 함수 에 대한 원상
열린집합
⭕ ❌
⭕ ❌ ⭕
닫힌집합
⭕ ⭕ ❌ ❌ ⭕
열린닫힌집합
⭕ ❌ ⭕ ❌ ⭕ ⭕
정칙 열린집합
⭕ ❌
❌ ❌ ❌
정칙 닫힌집합
❌ ⭕ ❌ ❌ ❌
닫기
위 표에서, ⭕는 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다. 예를 들어, 열린집합의 유한 교집합은 항상 열린집합이다. ❌는 일반적인 위상 공간에서 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있지 않을 수 있다는 뜻이며, 특정 위상 공간에서는 집합족들이 추가 연산에 대하여 닫혀 있을 수 있다. 예를 들어, 알렉산드로프 공간 에서 열린집합들은 임의의 교집합 에 대하여 닫혀 있다.
열린집합·닫힌집합의 개념을 사용하여, 두 위상 공간 사이의 다음과 같은 특별한 함수 들을 정의할 수 있다.
즉, 열린집합의 상이 항상 열린집합인 함수는 열린 함수 라고 하며, 닫힌집합의 원상이 항상 닫힌집합인 함수는 연속 함수 라고 한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
합집합 ·교집합 ·여집합 아래 불 대수 를 이룬다. 반대로, 스톤 표현 정리 에 따라 모든 불 대수 는 어떤 위상 공간의 열린닫힌집합 불 대수 로 나타낼 수 있다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
집합족
RegOpen
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {RegOpen} (X)}
(
⊤
,
⊥
,
∧
,
∨
,
¬
)
{\displaystyle (\top ,\bot ,\land ,\lor ,\lnot )}
완비 불 대수 를 이룬다.[7] :66, Theorem 10.1
⊤
=
X
{\displaystyle \top =X}
⊥
=
∅
{\displaystyle \bot =\varnothing }
U
∧
V
=
U
∩
V
{\displaystyle U\land V=U\cap V}
¬
U
=
X
∖
cl
(
U
)
{\displaystyle \lnot U=X\setminus \operatorname {cl} (U)}
U
∨
V
=
int
(
cl
(
U
∪
V
)
)
{\displaystyle U\lor V=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} (U\cup V)\right)}
임의의 정칙 열린집합들의 족
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
상한 과 하한 은 각각 다음과 같다.
⋁
U
=
int
(
cl
(
⋃
U
)
)
{\displaystyle \bigvee {\mathcal {U}}=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {U}}\right)\right)}
⋀
U
=
int
(
cl
(
⋂
U
)
)
{\displaystyle \bigwedge {\mathcal {U}}=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} \left(\bigcap {\mathcal {U}}\right)\right)}
마찬가지로, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
집합족
RegClsd
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)}
(
⊤
,
⊥
,
∧
,
∨
,
¬
)
{\displaystyle (\top ,\bot ,\land ,\lor ,\lnot )}
완비 불 대수 를 이룬다.
⊤
=
X
{\displaystyle \top =X}
⊥
=
∅
{\displaystyle \bot =\varnothing }
F
∧
G
=
cl
(
int
(
F
∩
G
)
)
{\displaystyle F\land G=\operatorname {cl} (\operatorname {int} (F\cap G))}
¬
F
=
cl
(
X
∖
F
)
{\displaystyle \lnot F=\operatorname {cl} (X\setminus F)}
F
∨
G
=
F
∪
G
{\displaystyle F\lor G=F\cup G}
임의의 정칙 닫힌집합들의 족
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
상한 과 하한 은 각각 다음과 같다.
⋁
F
=
cl
(
int
(
⋃
F
)
)
{\displaystyle \bigvee {\mathcal {F}}=\operatorname {cl} \left(\operatorname {int} \left(\bigcup {\mathcal {F}}\right)\right)}
⋀
F
=
cl
(
int
(
⋂
F
)
)
{\displaystyle \bigwedge {\mathcal {F}}=\operatorname {cl} \left(\operatorname {int} \left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\right)}
유클리드 공간 을 비롯한 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
열린 공 은 다음과 같다.
ball
(
x
,
r
)
=
{
y
∈
X
:
d
(
x
,
y
)
<
r
}
{\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}}
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
기저 를 이룬다.)
즉, 임의의 부분 집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
동치 이다.
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
임의의
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
ball
(
x
,
r
)
⊆
U
{\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)\subseteq U}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
실수선 과 같은 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
순서 위상 에서, 열린집합들은 열린구간 들의 합집합이다. 즉, 모든 열린구간
(
a
,
b
)
=
{
c
∈
X
:
a
<
c
<
b
}
{\displaystyle (a,b)=\{c\in X\colon a<c<b\}}
또는
(
−
∞
,
b
)
=
{
c
:
c
<
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{c\colon c<b\}}
또는
(
a
,
∞
)
=
{
c
:
a
<
c
}
{\displaystyle (a,\infty )=\{c\colon a<c\}}
은 정칙 열린집합이며, 열린구간들의 합집합은 열린집합이며, 반대로 모든 열린집합은 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 열린구간들은
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
기저 를 이룬다. (그러나 열린구간들의 합집합이 정칙 열린집합일 필요는 없다.)
실수선의 열린집합
U
=
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
{\displaystyle U=(0,1)\cup (1,2)}
을 생각하자. 그렇다면,
cl
U
=
[
0
,
2
]
{\displaystyle \operatorname {cl} U=[0,2]}
int
(
cl
U
)
=
(
0
,
2
)
⊋
U
{\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {cl} U)=(0,2)\supsetneq U}
이므로,
U
{\displaystyle U}
여집합
R
∖
U
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}
또한, 열린구간
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
(
1
,
2
)
{\displaystyle (1,2)}
절댓값 함수
|
⋅
|
:
R
→
R
{\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
연속 함수 이다. 이 함수 아래, 정칙 열린집합
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
원상
|
⋅
|
−
1
[
(
−
1
,
1
)
]
=
(
−
1
,
0
)
∪
(
0
,
1
)
{\displaystyle |\cdot |^{-1}\left[(-1,1)\right]=(-1,0)\cup (0,1)}
은 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 즉, 정칙 열린집합은 연속 함수에 대한 원상 에 대하여 닫혀 있지 않다.
열린집합·닫힌집합의 개념은 극한점 의 개념의 등장 이후 발달되었다.[8] 독일어 : abgeschlossene Menge , 프랑스어 : ensemble fermé )이라는 용어는 게오르크 칸토어 가 1884년에 최초로 사용하였다.[8] :223, §3 [9] :470, §17 [10] :388 프랑스어 : domaine ouvert )이라는 용어는 르네루이 베르 가 1899년 박사 학위 논문에서 최초로 사용하였다.[8] :227–228, §8 [11]
![{\displaystyle \operatorname {cl} U=[0,2]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c190cba4b3a062c2f6d2716d7d1c4cece9cfa1b1)
![{\displaystyle |\cdot |^{-1}\left[(-1,1)\right]=(-1,0)\cup (0,1)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd664569ed87b6ba96147d23b76b29453a357979)
