공 (기하학)

수학에서 공(영어: ball)은 구의 안쪽, 또는 그 경계인 구까지 포함한 것이다. 공의 개념은 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라, 유클리드 공간 · 거리 공간 · 위상 공간으로 확장된다.

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공은 구의 내부이다.

정의

유클리드 공간

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 및 그 속의 원소 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ 및 실수 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$이 주어졌다고 하자.

• 중심이 ${\displaystyle a}$, 반지름이 ${\displaystyle r}$인 열린 공(영어: open ball) ${\displaystyle B_{r}(a)}$는 다음과 같은 집합이다.

  ${\displaystyle B_{r}(a)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x-a\|<r\}}$

• 중심이 ${\displaystyle a}$, 반지름이 ${\displaystyle r}$인 닫힌 공(영어: closed ball) ${\displaystyle B_{r}[a]}$는 다음과 같은 집합이다.

  ${\displaystyle B_{r}[a]=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x-a\|\leq r\}}$

거리 공간

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 및 그 속의 원소 ${\displaystyle a\in X}$ 및 실수 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$이 주어졌다고 하자.

• 중심이 ${\displaystyle a}$, 반지름이 ${\displaystyle r}$인 열린 공(영어: open ball) ${\displaystyle B_{r}(a)}$는 다음과 같은 집합이다.

  ${\displaystyle B_{r}(a)=\{x\in X\colon d(x,a)<r\}}$

• 중심이 ${\displaystyle a}$, 반지름이 ${\displaystyle r}$인 닫힌 공(영어: closed ball) ${\displaystyle B_{r}[a]}$는 다음과 같은 집합이다.

  ${\displaystyle B_{r}[a]=\{x\in X\colon d(x,a)\leq r\}}$

성질

닫힌 공이 항상 그에 대응하는 열린 공의 폐포이지는 않은 데 주의하자.

참고 문헌

• William R. Wade (2003). 〈3.6 Topology of Rⁿ〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• William R. Wade (2003). 〈Chapter 10 Metric Spaces〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 구
• 초구