순서 위상

순서론에서 순서 위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를

${\displaystyle x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x}$

로 표기하고, 이에 대한 동치류를

${\displaystyle [x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}}$

로 표기하자. ${\displaystyle X}$ 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \mathop {\uparrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}}$

${\displaystyle \mathop {\downarrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\downarrow } a\setminus \mathop {\uparrow } a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}}$

여기서 ${\displaystyle \mathop {\uparrow } }$는 상폐포이며, ${\displaystyle \mathop {\downarrow } }$는 하폐포이다.

순서 위상

${\displaystyle X}$ 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.

${\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}}$

즉, ${\displaystyle X}$의 기저는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle (\mathop {\uparrow } a_{1}\setminus \mathop {\downarrow } a_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\uparrow } a_{m}\setminus \mathop {\downarrow } a_{m})\cap (\mathop {\downarrow } b_{1}\setminus \mathop {\uparrow } b_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\downarrow } b_{n}\setminus \mathop {\uparrow } b_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in X)}$

(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 ${\displaystyle X}$ 전체이다.)

만약 ${\displaystyle X}$가 격자라면, ${\displaystyle X}$의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}\cup \{X\}}$

다음과 같이 구간 표기법

${\displaystyle (a,\infty )=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b}$

${\displaystyle (a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

${\displaystyle (\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing }$

을 적용하면, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 유계 격자라면, ${\displaystyle X}$의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X}}$

하위상과 상위상

${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 위의 하위상(영어: lower topology) 또는 좌위상(영어: left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

${\displaystyle \{X\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{a\in X}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선

${\displaystyle X\setminus \mathop {\uparrow } b=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b=(-\infty ,b)}$

들이다.

마찬가지로, ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 위의 상위상(영어: upper topology) 또는 우위상(영어: right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

${\displaystyle \{X\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 전순서 집합이라면,

${\displaystyle X\setminus \mathop {\downarrow } a=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=(a,\infty )}$

이다.

하극한 위상과 상극한 위상

${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 위의 하극한 위상(영어: lower limit topology) 또는 하 조르겐프라이 위상(영어: lower Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다.

${\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\}_{a\in X}}$

이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup \{\infty \}}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 격자이거나, ${\displaystyle X}$의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 ${\displaystyle X}$의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 ${\displaystyle X}$가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 ${\displaystyle X}$의 하극한 위상의 기저를 이룬다.

${\displaystyle \{[a,b)\}_{a,b\in X}}$

마찬가지로, ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 위의 상극한 위상(영어: upper limit topology) 또는 상 조르겐프라이 위상(영어: upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다.

${\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap \mathop {\downarrow } b\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\}_{b\in X}}$

즉,

${\displaystyle \{(a,b]\}_{a\in X\sqcup \{-\infty \},b\in X}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 ${\displaystyle X}$가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.

${\displaystyle \{(a,b]\}_{a,b\in X}}$

성질

순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,^{[1]:67, 39.6} 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.^[2]:17

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:68, 39.8}

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:67, 39.7}

• 완비 격자이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[3]:199, Theorem 1}

• 순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다.

예

유한 집합

${\displaystyle \{a,b\}}$의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a\},\{b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \{\varnothing \}}$

${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle \{a,b\}}$의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle \{a,b\}}$의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\varnothing \right\}}$

${\displaystyle \varnothing }$

자명한 순서

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

순서체

실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$, 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 자연수 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 조르겐프라이 직선(영어: Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
• 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
• 이다.
• 완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 조르겐프라이 평면(영어: Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다.

순서수의 위상

순서수 ${\displaystyle \alpha }$는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle \alpha }$의 극한점은 ${\displaystyle \alpha }$보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ${\displaystyle \omega _{1}}$은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. ${\displaystyle \omega _{1}+1}$은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. ${\displaystyle \omega _{1}+1}$은 ${\displaystyle \omega }$의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

전순서 집합의 부분 집합

전순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.

• ${\displaystyle (X,\leq )}$ 위에 순서 위상을 주었을 때, ${\displaystyle Y}$ 위의 부분 공간 위상
• ${\displaystyle (Y,\leq \upharpoonright Y)}$ 위의 순서 위상

전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 부분 집합

${\displaystyle (0,1)\cup [2,3)}$

에서,

${\displaystyle [2,3)}$

는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.

만약 ${\displaystyle Y}$가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.

같이 보기

• 긴 직선
• 선형 연속체

각주

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978) [1970]. 《Counterexamples in Topology》 (영어) 2판. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
2. Künzi, Hans-Peter A. (1987). “Kelley’s conjecture and preorthocompactness”. 《Topology and its Applications》 (영어) 26 (1): 13–23. doi:10.1016/0166-8641(87)90022-8. ISSN 0166-8641. MR 0893800. Zbl 0623.54012.
3. Gulden, S. L.; Fleischman, W. M. (1970). “Linearly ordered topological spaces”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 24: 197–203. doi:10.2307/2036727. ISSN 0002-9939. MR 0250272. Zbl 0203.55104.

외부 링크

• “Order topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Sorgenfrey topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Order topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Order topology”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 5월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
• “Linearly orderable space”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 8월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
• “Sorgenfrey line”. 《Topospaces》 (영어).
• “Sorgenfrey plane”. 《Topospaces》 (영어).
• “Definition: order topology”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 4월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.
• “Order topology is Hausdorff”. 《ProofWiki》 (영어).^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
• “Order topology is normal”. 《ProofWiki》 (영어).^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}