상집합

순서론에서 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 ${\displaystyle S}$에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 ${\displaystyle S}$에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 ${\displaystyle S}$이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 ${\displaystyle S}$에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 ${\displaystyle S}$에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 ${\displaystyle S}$이다.

상집합(商集合)에 대해서는 몫집합 문서를 참고하십시오.

집합 ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$의 부분 집합이 부분 순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 필터를 이룬다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$의 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

${\displaystyle \uparrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon s\lesssim x\}}$

이는 ${\displaystyle S}$를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$의 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

${\displaystyle \downarrow S=\{x\in X\colon \exists s\in S\colon x\lesssim s\}}$

이는 ${\displaystyle S}$를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in S}$ 및 ${\displaystyle y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\lesssim y}$라면 ${\displaystyle y\in S}$이다.
• ${\displaystyle \uparrow S\subseteq S}$
• ${\displaystyle \uparrow S=S}$
• ${\displaystyle s\in S}$ 및 사슬 ${\displaystyle C\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \{s\}=\min C}$라면, ${\displaystyle C\subseteq S}$이다.
• ${\displaystyle X\setminus S}$는 하집합이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in S}$ 및 ${\displaystyle y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle y\lesssim x}$라면 ${\displaystyle y\in S}$이다.
• ${\displaystyle \downarrow S\subseteq S}$
• ${\displaystyle \downarrow S=S}$
• ${\displaystyle s\in S}$ 및 사슬 ${\displaystyle C\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \{s\}=\max C}$라면, ${\displaystyle C\subseteq S}$이다.
• ${\displaystyle X\setminus S}$는 상집합이다.

성질

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$의 교집합

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}U_{i}}$

및 합집합

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}}$

역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, ${\displaystyle (X,\leq )}$의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

반사슬과의 관계

부분 순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$의 상집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$의 극소 원소들의 집합 ${\displaystyle \min U}$는 ${\displaystyle X}$의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, ${\displaystyle (X,\leq )}$의 하집합 ${\displaystyle L\subseteq X}$의 극대 원소들의 집합 ${\displaystyle \max L}$은 ${\displaystyle X}$의 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$의 반사슬 ${\displaystyle A\subseteq X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \uparrow A}$는 상집합이며

${\displaystyle \min \uparrow A=A}$

${\displaystyle \max \downarrow A=A}$

이다. 따라서, ${\displaystyle X}$의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

${\displaystyle \uparrow \colon \operatorname {Antichain} (X,\leq )\to \operatorname {Upper} (X,\leq )}$

는 단사 함수이며,

${\displaystyle \max \colon \operatorname {Upper} (X,\leq )\to \operatorname {Antichain} (X,\leq )}$

는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 ${\displaystyle (X,\leq )}$가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \mathbb {R} }$는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

예

자명한 상집합·하집합

임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여, ${\displaystyle X}$는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 ${\displaystyle \varnothing \subseteq X}$ 역시 ${\displaystyle X}$의 상집합이자 하집합이다.

주 필터와 주 아이디얼

 이 부분의 본문은 필터 (수학)입니다.

임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 원소 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여,

${\displaystyle \uparrow \{x\}=\{y\in X\colon x\lesssim y\}}$

${\displaystyle \downarrow \{x\}=\{y\in X\colon y\lesssim x\}}$

는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.

실직선

실수의 전순서 집합 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

• ${\displaystyle (a,\infty )}$ (${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$)
• ${\displaystyle [a,\infty )}$ (${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$)
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \varnothing }$

마찬가지로, 실수의 전순서 집합 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

• ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ (${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$)
• ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ (${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$)
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \varnothing }$

정렬 집합

순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

${\displaystyle \alpha =\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta <\alpha \}}$

이 경우, 두 순서수 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$라면 ${\displaystyle \alpha }$는 ${\displaystyle \beta }$의 하집합이다.

순서수 ${\displaystyle \alpha }$의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta _{0}\leq \beta <\alpha \}}$ (${\displaystyle \beta _{0}\leq \alpha +1}$)

순서수 ${\displaystyle \alpha }$의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \{\beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta <\beta _{0}\}}$ (${\displaystyle \beta _{0}\leq \alpha +1}$)

외부 링크

• “Upper set”. 《nLab》 (영어).
• “Lower set”. 《nLab》 (영어).
• “Up set”. 《nLab》 (영어).
• “Down set”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: upper set”. 《ProofWiki》 (영어). 2021년 1월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
• “Definition: upper closure”. 《ProofWiki》 (영어). 2021년 1월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
• “Definition: lower set”. 《ProofWiki》 (영어). 2017년 12월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
• “Definition: lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: strict upper closure”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: strict lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Equivalence of definitions of upper set”. 《ProofWiki》 (영어). 2020년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
• “Equivalence of definitions of lower set”. 《ProofWiki》 (영어). 2017년 7월 9일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.