집합론 에서, 집합 A 의 여집합 (餘集合, 또는 보집합 (補集合), complement set ) AC 는, 전체집합 U 의 원소 중 A 의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 B 에 대한 A 의 차집합 (差集合, relative complement, set difference ) B ∖ A 는, B 의 원소 중 A 의 원소가 아닌 것들의 집합이다.
여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.
벤 다이어그램 으로 표현한 여집합 AC 전체집합 U 가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A 의 여집합 은 AC ,A ' A ∁U A ∁A , 또는 U ∖ A
A
C
=
{
x
∈
U
:
x
∉
A
}
{\displaystyle A^{C}=\{x\in U:x\notin A\}}
다른 말로,
임의의 x ∈ U 에 대해, x ∈ AC 일 필요충분조건은 x ∉ A .
(
A
∩
B
)
c
=
A
c
∪
B
c
{\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}
(
A
∪
B
)
c
=
A
c
∩
B
c
{\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}
A
c
∩
A
=
∅
{\displaystyle A^{c}\cap A=\emptyset }
A
−
B
=
A
∩
B
c
=
A
p
u
r
e
{\displaystyle A-B=A\cap B^{c}=A^{pure}}
(
A
c
)
c
=
A
{\displaystyle (A^{c})^{c}=A}
U
c
=
∅
{\displaystyle U^{c}=\emptyset }
(
∅
∪
A
c
)
∪
A
=
∅
∪
(
A
c
∪
A
)
=
∅
∪
U
=
U
{\displaystyle (\emptyset \cup A^{c})\cup A=\emptyset \cup (A^{c}\cup A)=\emptyset \cup U=U}
(
A
∪
A
)
∩
(
A
c
∪
A
)
=
(
A
∩
A
c
)
∪
A
=
∅
∪
A
=
A
{\displaystyle (A\cup A)\cap (A^{c}\cup A)=(A\cap A^{c})\cup A=\emptyset \cup A=A}
(
A
−
B
)
∩
(
(
B
∪
B
)
∩
(
B
c
∪
B
)
)
=
A
p
u
r
e
∩
(
(
B
∩
B
c
)
∪
B
)
=
A
p
u
r
e
∩
B
=
∅
{\displaystyle (A-B)\cap \left((B\cup B)\cap (B^{c}\cup B)\right)=A^{pure}\cap ((B\cap B^{c})\cup B)=A^{pure}\cap B=\emptyset }
(
A
−
B
)
∩
(
B
−
A
)
=
(
A
∩
B
c
)
∩
(
B
∩
A
c
)
=
A
p
u
r
e
∩
B
p
u
r
e
=
∅
{\displaystyle (A-B)\cap (B-A)=(A\cap B^{c})\cap (B\cap A^{c})=A^{pure}\cap B^{pure}=\emptyset }
벤 다이어그램 으로 표현한 차집합 B ∖ A 집합 B 에 대한 A 의 차집합 은 B ∖ A B - A
B
∖
A
=
{
x
∈
B
:
x
∉
A
}
{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}}
즉
임의의 대상 x 에 대해, x ∈ B ∖ A 일 필요충분조건은 x ∈ B 또한 x ∉ A . 여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. U 에서의 A 의 여집합은 곧 차집합 U ∖ A
차집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.
{1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
{2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4} 위 문단의 여집합 예시인
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
R
∖
Q
=
I
{\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I} }}
는 차집합의 예시이기도 하다.
