T1 공간

일반위상수학에서 T₁ 공간(T₁空間, 영어: T₁ space)은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 열린집합이 존재하는 위상 공간이다. 이는 콜모고로프 공간보다 강하지만, 하우스도르프 공간보다 약한 개념이다. 간혹 프레셰 공간(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 프레셰 공간과 혼동될 수 있다.

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 R₀ 공간이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\in U\not \ni y}$인 열린집합 ${\displaystyle U}$가 존재한다면, ${\displaystyle x\not \in V\ni y}$인 열린집합 ${\displaystyle V}$가 존재한다.
• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subset X}$에 대하여, ${\displaystyle U=\bigcup _{C\in {\mathcal {C}}}C}$인 닫힌집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$이 존재한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T₁ 공간이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq y}$라면, ${\displaystyle x\in U\not \ni y}$인 열린집합 ${\displaystyle U}$가 존재한다.
• 콜모고로프 공간이며 R₀ 공간이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\}}$는 닫힌집합이다.
• 임의의 유한 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$는 닫힌집합이다.
• 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle S}$를 포함하는 모든 열린집합들의 교집합은 ${\displaystyle S}$와 같다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T_D 공간이라고 한다.

• 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$의 유도 집합은 닫힌집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\}}$의 유도 집합은 닫힌집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\}=U\cap F}$인 열린집합 ${\displaystyle U}$ 및 닫힌집합 ${\displaystyle F}$가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T1 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	TD 공간

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 = (R₀ 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T₀)) ⊊ T_D 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T₀)

차분한 공간과의 관계

차분한 공간과 T₁ 공간은 서로를 함의하지 않는다.

차분한 T_D 공간의 부분 집합은 차분한 공간이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

예

모든 알렉산드로프 공간은 T_D 공간이다.^{[1]:35, Theorem 5.2} 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 T_D 공간이다.

각주

1. Aull, C. E.; Thron, W. J. (1962). “Separation axioms between T0 and T1”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 24: 26–37. ISSN 0019-3577.

외부 링크

• “Kolmogorov axiom”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Separation axiom”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “T_1-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “T1 space”. 《Topospaces》.
• “Definition: T1/2 Space”. 《ProofWiki》.