분해 가능 공간

일반위상수학에서 분해 가능 공간(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합이 조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

두 점이 열린집합에 의해 분리되는 공간에 대해서는 하우스도르프 공간 문서를 참고하십시오.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 밀도(密度, 영어: density) ${\displaystyle d(X)}$는 ${\displaystyle X}$ 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 이하인 위상 공간을 분해 가능 공간이라고 한다.^[1]:192 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

성질

제2 가산성과의 관계

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.^[1]:192

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]:195

• 분해 가능 공간이다.
• 제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

콤팩트 공간 ${\displaystyle \subsetneq }$^[1]:194 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간^{[1]:191–192}

분해 가능성을 보존하는 연산

두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$이 주어졌을 때, 그 상 ${\displaystyle f(D)\subseteq f(X)}$는 치역 ${\displaystyle f(X)}$ 속의 조밀 집합이다. 따라서

${\displaystyle d(f(X))\leq d(X)}$

이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.^[1]:194

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$ 및 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle U\cap D}$는 ${\displaystyle U}$의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle d(U)\leq d(X)}$

특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.^{[2]:Theorem 16.4b} 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간

${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$

및 무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리(영어: Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem)에 따르면, 만약

${\displaystyle d(X_{i})\leq \kappa \qquad (\forall i\in I)}$

${\displaystyle |I|\leq 2^{\kappa }}$

라면,

${\displaystyle d(X)\leq \kappa }$

이다. 특히, ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.^{[1]:194[2]:109, Theorem 16.4c} 곱위상 대신 상자 위상을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리의 증명:^{[3]:81, Theorem 2.3.15}

편의상 ${\displaystyle |I|=2^{\kappa }}$라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 이하인 조밀 집합 ${\displaystyle D_{i}\subseteq X_{i}}$들의 곱집합 ${\displaystyle \textstyle D=\prod _{i\in I}D_{i}\subseteq X}$는 조밀 집합이다. 따라서, ${\displaystyle D}$의 크기 ${\displaystyle \kappa }$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 이제, ${\displaystyle Y}$가 크기 2의 이산 공간이라고 하고, ${\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}}$가 ${\displaystyle 2^{\kappa }}$개의 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 이산 공간 ${\displaystyle Z}$들의 곱공간이라고 하자. 그렇다면 전사 연속 함수

${\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}\to D}$

가 존재한다. 따라서 ${\displaystyle Z^{Y^{\kappa }}}$에서 크기 ${\displaystyle \kappa }$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 곱공간 ${\displaystyle Y^{\kappa }}$는 크기 ${\displaystyle \kappa }$ 이하의 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 ${\displaystyle \kappa }$이다). 이제,

${\displaystyle A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}}$

가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 서로소 집합들의 집합 ${\displaystyle \{B_{1},\dots ,B_{n}\}\subset {\mathcal {B}}}$가 존재하는 원소

${\displaystyle f\in Z^{Y^{\kappa }}}$

들의 집합이라고 하자.

• 각 ${\displaystyle f|_{B_{i}}\colon B_{i}\to Z}$는 상수 함수이다.
• ${\displaystyle f|_{Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})}\colon Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})\to Z}$는 상수 함수이다.

그렇다면, ${\displaystyle A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}}$가 조밀 집합이며, ${\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \kappa }$이므로 ${\displaystyle |A|\leq \kappa }$이다.

크기 관련 성질

모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.

• 제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이하이다.
• 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$ 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.

• 분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.^[1]:194
• 분해 가능 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$ 위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이하이다.

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )\leq 2^{\aleph _{0}}}$

이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이 이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 및 단사 함수 ${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow {\tilde {X}}}$를 찾을 수 있다.^[4]:49

• ${\displaystyle |X|=|{\tilde {X}}|}$이며, ${\displaystyle {\tilde {X}}\setminus \iota (X)}$는 가산 집합이다.
• ${\displaystyle X}$는 그 상 ${\displaystyle \iota (X)}$와 위상 동형이다.
• 만약 ${\displaystyle X}$가 하우스도르프 공간이라면, ${\displaystyle {\tilde {X}}}$역시 하우스도르프 공간이다.

힐베르트 공간

 힐베르트 공간 문서를 참고하십시오.

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 힐베르트 차원이 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 및 L² 공간 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\subsetneq \mathbb {R} ^{n}}$은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

예

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.

${\displaystyle d(X)\leq |X|}$

따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 ${\displaystyle X}$의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

${\displaystyle |X|=d(X)}$

특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다. 비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 ${\displaystyle X}$의 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle d(X)=\min\{1,|X|\}}$

따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

역사

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(영어: Ralph Philip Boas Jr., 1912~1992),^[5] 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt, 1920~1999),^[6] 에드바르트 마르체프스키(폴란드어: Edward Marczewski, 1907~1976, ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$)^[7]가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리(영어: E. S. Pondiczery)는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

각주

1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
2. Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581.
3. Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
4. Sierpiński, Wacław (1952). 《General topology》. Mathematical Expositions (영어) 7. University of Toronto Press. MR 0050870.
5. Pondiczery, E. S. (1944). “Power problems in abstract spaces”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 11: 835–837. doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3. ISSN 0012-7094. MR 0011104. Zbl 0060.39601.
6. Hewitt, Edwin (1946). “A remark on density characters”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 52: 641–643. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08613-9. ISSN 0002-9904. MR 0017329. Zbl 0060.39602.
7. Marczewski, Edward (1947). “Separabilité et multiplication cartesienne des espaces topologiques”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 34: 127–143. doi:10.4064/fm-34-1-127-143. ISSN 0016-2736. MR 0021680. Zbl 0032.19104.

외부 링크

• “Separable space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Density (of a topological space)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Separable space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Separable space”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: separable space”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem”. 《PlanetMath》 (영어).
• “A question about compactness and separability with respect to box and product topology”. 《Stack Exchange》. 지원되지 않는 변수 무시됨: |영어= (도움말)

같이 보기

• 제1 가산 공간
• 제2 가산 공간