유사 거리 공간

기하학에서 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, 영어: extended pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty ]}$

이다.^{[1]:12, §0.13}

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• (대칭성) 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
• (삼각 부등식) 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}$

둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.

• (삼각 부등식) ${\displaystyle d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)}$

여기서 ${\displaystyle y=x}$로 잡으면 ${\displaystyle d(y,x)=d(x,y)}$가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 ${\displaystyle d}$의 공역을 음이 아닌 확장된 실수 ${\displaystyle [0,\infty ]}$ 대신 음이 아닌 실수 ${\displaystyle [0,\infty )}$로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수 ${\displaystyle d}$가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.

• (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$

(확장) 유사 거리 공간(영어: (extended) pseudometric space) ${\displaystyle (X,d)}$은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^{[1]:12, §0.13}

유사 거리 공간의 특별한 집합

 이 부분의 본문은 공 (수학)입니다.

확장 유사 거리 공간 ${\displaystyle X}$에서, 점 ${\displaystyle x\in X}$를 중심으로 하는, 반지름이 ${\displaystyle r\in (0,\infty ]}$인 열린 공 ${\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}}$

유사 거리 공간 ${\displaystyle X}$의 유계 집합 ${\displaystyle S\subset X}$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

• ${\displaystyle \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty }$인 점 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.

거리 위상

확장 유사 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle U\subset X}$이다.

모든 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {ball} (x,r_{x})\subseteq U}$인 ${\displaystyle r_{x}>0}$가 존재한다.

이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다.

연산

지름

확장 유사 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 지름(영어: diameter) ${\displaystyle \operatorname {diam} X}$는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

${\displaystyle \operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]}$

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간 이라고 한다.

거리화

유사 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

${\displaystyle x\sim y\iff d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X}$

그렇다면, 이에 대한 몫집합 ${\displaystyle X/\sim }$ 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

${\displaystyle d([x]_{\sim },[y]_{\sim })=d(x,y)\qquad \forall x,y\in X}$

이에 따라 ${\displaystyle X/\sim }$은 거리 공간을 이룬다.

성질

유사 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 임의의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle (Y,d|_{Y\times Y})}$는 유사 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

 이 부분의 본문은 거리화 가능 공간입니다.

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 완전 정규 공간이다.
• 제1 가산 공간이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

예

불 대수 ${\displaystyle B}$ 위의 유한 유한 가법 측도 ${\displaystyle \mu \colon B\to [0,\infty )}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \Sigma }$ 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

${\displaystyle d(A,B)=d(A\bigtriangleup B)=d(A\setminus B)+d(B\setminus A)}$

여기서 ${\displaystyle \bigtriangleup }$은 대칭차이다.

함수해석학에서, L^p 거리 공간 ${\displaystyle L^{p}(X)}$은 어떤 함수 공간 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)}$의 거리 공간화로 정의되며, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)}$는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

각주

1. Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001.

외부 링크

• “Pseudo-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudometric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Definition: pseudometric”. 《ProofWiki》 (영어).