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어떤 의미에서 유한한 크기를 갖는 집합 위키백과, 무료 백과사전
수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서나 거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.
유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다면, 가 위로 유계(영어: bounded from above)라고 하며, 를 의 상계(영어: upper bound)라고 한다.
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다면, 가 아래로 유계(영어: bounded from below)라고 하며, 를 의 하계(영어: lower bound)라고 한다.
유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.
거리 공간 의 부분 집합 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 가 존재한다면, 가 유계 집합이라고 한다.
만약 전체가 유계라면, 은 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -위상 벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다.
이때
이다.
일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.
노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.
실수의 집합 의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.
-위상 벡터 공간 에서,
-위상 벡터 공간 에서,
-위상 벡터 공간 , 사이의 모든 연속 선형 변환 는 유계 작용소(즉, 유계 집합의 상은 유계 집합)이다. 만약 가 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소 는 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환은 유계 함수일 수 없다.)
-위상 벡터 공간 에서, 영벡터 가 유계 근방을 갖는다면, 가 국소 유계 공간(영어: locally bounded space)이라고 한다.
모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.[1]:13, Theorem 1.15(c)
-국소 볼록 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A는 0M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.
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