整数

整数（英语：integer）在电脑应用上也称为整型，是序列${\displaystyle \{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体${\displaystyle Z}$或${\displaystyle \mathbb {Z} }$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

正整数与负整数

主条目：正整数和负整数

整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z⁺或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号：Z^-或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z⁺₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z^-₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}$）。在数论中自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数${\displaystyle a,b,c}$的加法和乘法的基本性质。

性质	加法	乘法
封闭性	${\displaystyle a+b}$是整数	${\displaystyle a\times b}$是整数
结合律	${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$	${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$
交换律	${\displaystyle a+b=b+a}$	${\displaystyle a\times b=b\times a}$
存在单位元	${\displaystyle a+0=a}$	${\displaystyle a\times 1=a}$
存在逆元	${\displaystyle a+(-a)=0}$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数${\displaystyle a}$关于乘法的逆元为${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，都不为整数。
分配律	${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是${\displaystyle \mathbb {Z} }$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$同构。

有序性质

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

${\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c<d}$，则${\displaystyle a+c<b+d}$（加法）
• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c>0}$，则${\displaystyle a\times c<b\times c}$；若${\displaystyle c<0}$，则${\displaystyle a\times c>b\times c}$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

电脑

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Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的基数

${\displaystyle \mathbb {Z} }$的基数（或势）是ℵ₀，与${\displaystyle \mathbb {N} }$相同。这可以从${\displaystyle \mathbb {Z} }$建立一双射函数到${\displaystyle \mathbb {N} }$来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}$

当该函数的定义域仅限于${\displaystyle \mathbb {Z} }$，则证明${\displaystyle \mathbb {Z} }$与${\displaystyle \mathbb {N} }$可建立一一对应的关系，即两集等势。

参见

• 整数数列线上大全
• 超整数