无限集合

无限集合是由无限个元素组成的集合，也称无穷集合或无限集。无限集合一般常见的例子有自然数集、整数集、有理数集等。无限集合分为可数集和不可数集。^[1][2][3]

自然数集是公理直接要求是无限集合的唯一集合。

历史

集合论中，集合主要分为有限集合与无限集合。有限集合很多的性质是显而易见的，而无限集合的非有限性，使得其一些基本性质也变得并不显而易见。个别的数学家甚至质疑诸如选择公理等基本公设使用在无限集合身上是否仍然正确。罗素悖论提出以后，一些激进的数学哲学家提倡禁止在数学中使用无限集合以挽救第三次数学危机。

示例

无穷可数集合

整数集${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,2,\ldots \}}$是一个可数的无穷集合。整数的某些子集也是可数的无限集合，如：偶数集、奇数集等。

无穷不可数集合

实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$、无理数集等都是无穷不可数集合。

特性

在无限集合中，集合大小的比较不是显然的。

• 在基数意义下，一个集合的真子集可以等于自身，例如：

偶数和整数哪个多？

整数：${\displaystyle \ldots ,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots ,n}$

偶数：${\displaystyle \ldots ,-2,0,2,4,6,8,10,\ldots ,2n}$

通过建立一一对应的关系，可以证明偶数和整数在基数意义下一样多，虽然这有悖于一般认识。

• 在密度意义下，同样的例子里，偶数集的大小是自然集的一半：

对于${\displaystyle N\to \infty }$，小于${\displaystyle N}$的偶数数目 与 小于${\displaystyle N}$的整数数目 的比值趋近于${\displaystyle 0.5}$。

参考文献

1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite. Math Vault. 2019-08-01 [2019-11-29]. （原始内容存档于2020-02-28） （美国英语）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Infinite Set. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-11-29]. （原始内容存档于2020-11-27） （英语）.
3. infinite set in nLab. ncatlab.org. [2019-11-29]. （原始内容存档于2020-10-01）.