集合 (数学)

集合（英语：set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同对象（英语：object）形成的总体。集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若${\displaystyle x}$是集合${\displaystyle A}$的元素，记作${\displaystyle x\in A}$。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。

此条目介绍的是数学家们所称的“直观”或“朴素”的集合理论。关于更详细的说明，请见“朴素集合论”。关于有关集合的现代严格公理化理论，请见“公理化集合论”。

一个包含一些多边形的集合

集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

导言

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

• 族、系：通常指它的元素也是一些集合。

符号

元素通常用${\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x}$等小写字母来表示；而集合通常用${\displaystyle \mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} }$等大写字母来表示。

当元素${\displaystyle a}$属于集合${\displaystyle \mathbf {A} }$时，记作${\displaystyle a\in \mathbf {A} }$。

当元素${\displaystyle a}$不属于集合${\displaystyle \mathbf {A} }$时，记作${\displaystyle a\not \in \mathbf {A} }$。

如果${\displaystyle \mathbf {A,\ B} }$两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作${\displaystyle \mathbf {A=B} }$。

特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

• 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

• 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

表示

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

${\displaystyle A=}$大于零的前三个自然数

${\displaystyle B=}$光的三原色和白色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

${\displaystyle C=\left\{1,2,3\right\}}$

${\displaystyle D=\{}$红色${\displaystyle ,}$蓝色${\displaystyle ,}$绿色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle \}}$

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，${\displaystyle A=C}$而${\displaystyle B=D}$，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合${\displaystyle \left\{2,4\right\}}$，${\displaystyle \left\{4,2\right\}}$和${\displaystyle \left\{2,2,4,2\right\}}$是相同的，因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合间的关系

子集与包含关系

主条目：子集

B的子集A

定义

集合${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$，若${\displaystyle \forall a\in A}$，有${\displaystyle a\in B\therefore A\subseteq B}$。则称${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，亦称${\displaystyle A}$包含于${\displaystyle B}$，或${\displaystyle B}$包含${\displaystyle A}$，记作${\displaystyle A\subseteq B}$或${\displaystyle B\supseteq A}$，否则称${\displaystyle A}$不是${\displaystyle B}$的子集，记作${\displaystyle A\nsubseteq B}$或${\displaystyle B\nsupseteq A}$。

若${\displaystyle A\subseteq B}$，且${\displaystyle A\neq B}$，则称${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，亦称${\displaystyle A}$真包含于${\displaystyle B}$，或${\displaystyle B}$真包含${\displaystyle A}$，记作${\displaystyle A\subsetneqq B}$或${\displaystyle B\supsetneqq A}$（有时也记作${\displaystyle A\subset B}$或${\displaystyle B\supset A}$）。

基本性质

• 包含关系“${\displaystyle \subseteq }$”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 自反性：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle S\subseteq S}$；（任何集合都是其本身的子集）
  • 反对称性：${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A=B}$；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
  • 传递性：${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C}$；
• 真包含关系“${\displaystyle \subsetneqq }$”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 反自反性：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle S\subsetneqq S}$都不成立；
  • 非对称性：${\displaystyle A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A}$不成立；反之亦然；
  • 传递性：${\displaystyle A\subsetneqq B}$且${\displaystyle B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C}$；
• 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而${\displaystyle \varnothing }$是这个偏序关系的最小元素，即：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle \varnothing \subseteq S}$；且若${\displaystyle S\neq \varnothing }$，则${\displaystyle \varnothing \subsetneqq S}$，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
• ${\displaystyle \left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}}$

运算

并

主条目：并集

两个集合可以相"加"。${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的并集是将${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$，定义运算${\displaystyle \cup }$如下：${\displaystyle A\cup B=\{e|e\in A}$或${\displaystyle e\in B\}}$。${\displaystyle A\cup B}$称为${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的并集。

A 和 B 的并集

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}\cup \{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle \}=\{1,2,}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle \{1,2,}$绿色${\displaystyle \}\cup \{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle ,}$绿色${\displaystyle \}=\{1,2,}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle ,}$绿色${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle \left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}}$

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \cup }$运算具有以下性质。

• 交换律：${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$；
• 结合律：${\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}$；
• 幂等律：${\displaystyle A\cup A=A}$；
• 幺元：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$；（${\displaystyle \varnothing }$是${\displaystyle \cup }$运算的幺元）。

交

主条目：交集

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集，写作${\displaystyle A\cap B}$，是既属于${\displaystyle A}$的、又属于${\displaystyle B}$的所有元素组成的集合。

若${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$，则${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$称作不相交。

A 和 B 的交集

定义

给定集合${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$，定义运算${\displaystyle \cap }$如下：${\displaystyle A\cap B=\{e|e\in A}$且${\displaystyle e\in B\}}$。${\displaystyle A\cap B}$称为${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \cap }$运算具有以下性质。

• 交换律：${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$；
• 结合律：${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$；
• 幂等律：${\displaystyle A\cap A=A}$；
• 空集合：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$；（${\displaystyle \varnothing }$是${\displaystyle \cap }$运算的空集合）。

其它性质还有：

• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A}$

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}\cap \{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle \}=\varnothing }$
• ${\displaystyle \{1,2,}$绿色${\displaystyle \}\cap \{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle ,}$绿色${\displaystyle \}=\{}$绿色${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle \{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}}$

补集

主条目：差集

两个集合也可以相"减"。${\displaystyle A}$在${\displaystyle B}$中的相对补集，国际上通常写作 ${\displaystyle B\setminus A}$，中文教材中有时也会写作${\displaystyle B-A}$。表示属于${\displaystyle B}$的、但不属于${\displaystyle A}$的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集${\displaystyle U}$的子集。这样， ${\displaystyle U-A}$称作${\displaystyle A}$的绝对补集，或简称补集（余集），写作${\displaystyle A'}$或${\displaystyle \complement _{U}A}$。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$，定义运算-如下：${\displaystyle A-B=\{e|e\in A}$且${\displaystyle e\not \in B\}}$。${\displaystyle A-B}$称为${\displaystyle B}$对于${\displaystyle A}$的差集，相对补集或相对余集。

在上下文确定了全集${\displaystyle U}$时，对于${\displaystyle U}$的某个子集${\displaystyle A}$，一般称${\displaystyle U-A}$为${\displaystyle A}$（对于${\displaystyle U}$）的补集或余集，通常记为${\displaystyle A'}$或${\displaystyle {\bar {A}}}$，也有记为${\displaystyle A^{\text{c}}}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle \complement _{U}A}$，以及${\displaystyle \complement A}$的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$；
• 右幺元：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle A-\varnothing =A}$；（${\displaystyle \varnothing }$是${\displaystyle -}$运算的右幺元）。
• 左零元（英语：Zero element）：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }$；（${\displaystyle \varnothing }$是${\displaystyle -}$运算的左零元）。

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}-\{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle \}=\{1,2\}}$
• ${\displaystyle \{1,2,}$绿色${\displaystyle \}-\{}$红色${\displaystyle ,}$白色${\displaystyle ,}$绿色${\displaystyle \}=\{1,2\}}$
• ${\displaystyle \{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing }$
• 若${\displaystyle U}$是整数集，则奇数的补集是偶数

对称差

主条目：对称差

定义

给定集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$，定义对称差运算${\displaystyle \vartriangle }$如下：${\displaystyle A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)}$。

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \vartriangle }$运算具有如下基本性质：

• 交换律：${\displaystyle A\vartriangle B=B\vartriangle A}$；
• 结合律：${\displaystyle (A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)}$；
• 幺元：${\displaystyle \forall }$集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle A\vartriangle \varnothing =A}$；（${\displaystyle \varnothing }$是${\displaystyle \vartriangle }$运算的幺元）。
• 逆元：${\displaystyle A\vartriangle A=\varnothing }$；

运算性质

集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

• 分配律:

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

• 对偶律:

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

集合的元素个数

主条目：基数 (数学)

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: ${\displaystyle \operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}}$。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 ${\displaystyle \{\}}$ 或符号${\displaystyle \varnothing }$表示。比如：集合${\displaystyle A}$是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则${\displaystyle A=\varnothing }$。在数学上，空集非常重要。更多信息请参阅空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他信息请见集合的势。

公理化集合论

主条目：公理化集合论

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

类

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“${\displaystyle \exists B(A\in B)}$”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为${\displaystyle \operatorname {Set} (A)}$。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参见

• 数学主题

• 公理化数学
• 类的理论
• 集合代数

参考文献

• Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications（英语：Dover Publications） (1979) ISBN 0-486-63829-4.