阿列夫数

在集合论中，阿列夫数或艾礼富数是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ （由希伯来字母א‎(aleph)演变而来）加角标表示。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

可数集（包括自然数）的势标记为${\displaystyle \aleph _{0}}$，下一个较大的势为${\displaystyle \aleph _{1}}$，再下一个是${\displaystyle \aleph _{2}}$，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$。

这一概念来自于康托尔，他定义了势，并认识到无穷集合是可以有不同的势的。

阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限 (∞) 不同。阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是在极限的写法中出现，或是定义成扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。

构造性定义

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：^[1]:28

• ℵ₀定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；
• 考虑良序集^[1]:25按照某种同构关系^{[注 1]}划出的等价类^{[1]:18[注 2]}；
  • 如上定义的等价类有一个特点：可比较^[1]:25，
• 设ℵ_a已定义且是一良序集的基数，考虑：
  1. 由于ℵ_a是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为ℵ_a的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。所有这些等价类^{[注 3]}将做成一集，记为Z(ℵ_a)。
  2. Z(ℵ_a)也是良序集。^[1]:27
  3. 定义ℵ_a+1:= card(Z(ℵ_a))，它是一个良序集的基数。

阿列夫1

${\displaystyle \aleph _{1}}$是所有可数序数集合的势，称为 ω₁或有时为Ω。这个ω₁本身是一个比所有可数序数更大的序数，因此它为一个不可数集。

数“阿列夫”

在中国大陆，实数集的基数常被记为𝖈或 ℵ，即 ℵ := ℶ₁，这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁．阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析（微积分）时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数，事实上他们遇到的是 “ℵ”或“𝖈”，即角标为1的 ℶ 数。除非讨论集合论，否则阿列夫数将是最不常用的基数之一。

另见

• 格奥尔格·康托尔
• 基数
• 不可数集合
• 连续统假设：不存在一个基数绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合。

注释

1. 即……
2. 如果把这样定义的等价类看成该集合莫须有的“末元素”的话，就把它叫做序数。
3. 基于前面所说的此类等价类的一些性质，这些等价类（或序数）……

参考文献

1. 陈建功. 實函數論. 北京: 科学出版社. 1958.9. CSBN 13031·41. 请检查|date=中的日期值 (帮助)

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Aleph-0. MathWorld.
• aleph numbers at PlanetMath.