群概形

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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定义

在代数几何中，一个概形${\displaystyle S}$上的群概形${\displaystyle G}$是范畴${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$中的群对象。借由米田信夫引理，我们可以给出两种刻划：

• 以乘法、单位元与逆元定义：存在${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$中的态射
  • 乘法：${\displaystyle m:G\times _{S}G\rightarrow G}$
  • 单位元：${\displaystyle e:S\rightarrow G}$
  • 逆元：${\displaystyle i:G\rightarrow G}$

并满足结合律等等群的性质。

• 以函子性定义：点函子${\displaystyle h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set} }$透过遗忘函子${\displaystyle \mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set} }$分解。。

换言之：对于任意的${\displaystyle S}$-概形${\displaystyle T}$，${\displaystyle G(T)}$构成一个群；而且对任意${\displaystyle S}$-态射${\displaystyle T'\rightarrow T}$，诱导映射${\displaystyle G(T)\rightarrow G(T')}$都是群同态。

• 代数群：设${\displaystyle k}$为域，${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$上的连通、光滑群概形称作${\displaystyle k}$上的代数群。

• 李代数：群概形${\displaystyle G}$自然地作用在它的全体向量场上。${\displaystyle G}$的全体左不变向量场称作${\displaystyle G}$的李代数，记为${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$；它是${\displaystyle S}$上的层。

例子

• 交换环谱${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$的群概形结构一一对应到${\displaystyle A}$的Hopf代数结构。
• 阿贝尔簇：即一个域${\displaystyle k}$上的真（proper）代数群，它们必然是可交换的。
• 线性代数群：即${\displaystyle GL(n)}$中的闭子群。仿射代数群都是线性代数群，它们在表示理论及数论中占有根本地位。Chevalley定理断言：若${\displaystyle k}$代数封闭，则对所有代数群${\displaystyle G}$都存在短正合列${\displaystyle 1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1}$，其中${\displaystyle H}$是线性代数群而${\displaystyle A}$是阿贝尔簇。在此意义下，所有代数群都是由阿贝尔簇与线性代数群建构而来。
• 设${\displaystyle \mathrm {char} (k)=p>0}$，并考虑${\displaystyle k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)}$的谱。这些群在拓朴上只有一个点，但其结构层带有幂零元素。这些子群在代数群的研究中相当常见，同时也是理解${\displaystyle \mathrm {char} (k)>0}$时的代数群之重要关键。

文献

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press