无量纲量 - Wikiwand

在因次分析中，無因次量^[1]（dimensionless quantity）又稱無量綱量、因次為一的量^[2]^[3]（quantity of dimension one）^{[註 1]}指的是沒有因次的量。它是個單純的數字，因次為1^[4]。

無因次量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無因次量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有因次量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無因次量常寫作兩個有因次量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無因次量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的因次均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有因次的。

屬性

雖然無因次量本身沒有因次，但是它也有時被加以無因次的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的因次相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味着存在因次，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無因次量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百萬分比；ppb=10⁻⁹，十億分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。

兩個具有相同因次之比是沒有因次的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味着牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無因次量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無因次量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理

白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的因次，則可以產生p = n − k個獨立的無因次量。

例子

某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裏共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個因次組成：

長度：L (m)
時間：T (s)
質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無因次量。此例中的這兩個無因次量分別為：

雷諾數（描述流體流動的無因次量）
功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無因次量）

例子

在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無因次量。
角：角的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無因次量。當所用的（無因次）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
圓周率是個無因次量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無因次量列表

下表中所有的量均為無因次量：

更多資訊

...

名稱	標準符號	定義	應用範疇
阿貝數	V	$V={\frac {n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}}$	光學（光的色散）
活度系數	γ	$\gamma ={\frac {a}{x}}$	化學（活躍分子或原子佔總數之比）
反照率	$\alpha$	${\alpha }=(1-D){\bar {\alpha }}(\theta _{i})+D{\bar {\bar {\alpha }}}$	氣候學、天文學
勞侖茲因子	$\gamma$	$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$	相對論
阿基米德數	Ar	$Ar={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}$	密度差造成的流體運動
阿倫尼烏斯數	$\alpha$		活化能與熱能之比^[5]
相對原子質量	M		化學
伯格諾德數	Ba	$Ba={\frac {\rho d^{2}\lambda ^{1/2}\gamma }{\mu }}$	固體塊的流動（如米粒或沙子）^[6]
比贊數（熱力學）	Be	$Be={\frac {{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}+{\dot {S}}'_{gen,\Delta p}}}$	熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比^[7]
比贊數（流體力學）	Be	$Be={\frac {\Delta P.L^{2}}{\mu \alpha }}$	沿着通道的壓力差^[8]
賓漢數	Bm	$Bm={\frac {\tau _{y}L}{\mu V}}$	屈服應力與黏滯應力之比^[5]
畢奧數	Bi	$Bi={\frac {hL_{C}}{\ k_{b}}}$	固體的表面傳導率與體積傳導率之比
布萊克數（英語：Blake number）	Bl或B	$B={\frac {V\rho }{\mu (1-\epsilon )D}}$	流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性
博登斯坦數	Bo	$Bo=Re\cdot Sc=vL/{\mathcal {D}}$	停留時間的分佈
邦德數	Bo	$Bo={\frac {\rho aL^{2}}{\gamma }}$	由浮力推動的毛細作用^[9]
布林克曼數	Br	$Br={\frac {\mu U^{2}}{\kappa (T_{w}-T_{0})}}$	從容器壁到黏性流體的熱傳導
Brownell-Katz數			毛細管數和邦德數的組合
毛細管數	Ca		受表面張力影響的流體流動
錢德拉塞卡數（英語：Chandrasekhar number）	$\ Q$	${Q}\ =\ {\frac {{B_{0}}^{2}d^{2}}{\mu _{0}\rho \nu \lambda }}$	磁對流，用以表達洛倫茲力與黏度之比
靜摩擦系數	$\mu _{s}$		物體間的靜摩擦
動摩擦系數	$\mu _{k}$		物體互相滑動時的摩擦
柯爾伯恩j因數			熱傳導的無因次系數
庫朗數	$\nu$		雙曲型偏微分方程之解^[10]
達姆科勒數	Da	$Da=k\tau$	反應時間與共振時間之比
阻尼比	$\zeta$	$\zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}$	系統中阻尼的程度
達西阻力系數	$C_{f}$ 或 $f$		流體流動
狄恩數	D	${\mathit {D}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}$	彎曲管道中的流體渦
底波拉數	De	$\mathrm {De} ={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}$	粘彈性流體的流動學
分貝	dB		兩個強度之比，通常用於聲音
阻力系數	$C_{d}$		流動阻力
Dukhin數	Du		異質系統中表面電導率與體積電導率之比
歐拉常數	e		數學
埃克特數	Ec		熱對流傳導
埃克曼數	Ek		地球物理學（黏質阻力）
彈性	E	$E_{x,y}=\left\|{\frac {\Delta y/y}{\Delta x/x}}\right\|=\left\|{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\|=\left\|{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\|$	經濟學，常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響
厄特沃什數	Eo		判斷汽泡或液滴形狀
埃里克森數	Er		液晶流動特性
歐拉數 (物理學)	Eu		流體動力學（壓力與慣性力之比）
過量溫度系數	Θ_r	$\Theta _{r}={\frac {T-T_{e}}{U_{e}^{2}/(2c_{p})}}$	熱力學與流體動力學^[11]
范寧摩擦係數（英語：Fanning friction factor）	f		管道中的流體流動^[12]
費根鮑姆常數	$\alpha ,\delta$		混沌理論（週期倍增）^[13]
精細結構常數	$\alpha$	$\alpha ={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}}$	量子電動力學
焦比	$f$		光學、攝影
Foppl-von Karman數			薄殼失穩
傅里葉數	Fo		熱傳導
菲涅耳數	F	$F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}$	狹縫繞射^[14]
福祿數	Fr	$Fr={\frac {V}{\sqrt {g\ell }}}$	波和表面行為
增益			電子學（信號輸出與信號輸入之比）
速比			單車傳動^[15]
伽利萊數	Ga	$\mathrm {Ga} =Re^{2}Ri={\frac {g\,L^{3}}{\nu ^{2}}}$	引力造成的黏質流動
黃金分割比	$\varphi$		數學、美學
格雷茨數	Gz		熱流
格拉斯霍夫數	Gr		自由對流
重力耦合常數	$\alpha _{G}$	$\alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}$	重力
八田數	Ha	$Ha={{\sqrt {{\frac {2}{{m}+1}}k_{m,n}{C_{A,i}}^{m-1}C_{B,bulk}^{n}{D}_{A}}} \over {{k}_{L}}}$	化學反應造成的吸附增強
哈根數	Hg	$\mathrm {Hg} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}{\frac {L^{3}}{\nu ^{2}}}$	強制對流
水力梯度	i		地下水流動
雅各布數	Ja	$Ja={\frac {c_{p}(T_{s}-T_{sat})}{h_{fg}}}$	液汽相變時所吸收的顯能與潛能之比^[16]
Karlovitz數			湍流燃燒
Kc數	$K_{C}$	$K_{c}={\frac {VT}{L}}$	震盪流場中物體的阻力與慣性之比
克努森數	Kn		分子平均自由程長度與某代表性長度之比
尿素清除指數	Kt/V		醫學
Kutateladze數	K		兩相逆流
拉普拉斯數	La		混溶流體中的自由對流
路易斯數	Le		質量擴散率與熱擴散率之比
升力系數	$C_{L}$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli參數	$\chi$		濕氣的流動 ^[17]
樂甫數			地球的硬性
倫德奎斯特數	$S$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
馬赫數	M	$\ M={\frac {V}{a}}$	氣體動力學
磁雷諾數	$R_{m}$		磁流體力學
曼寧糙率係數	n		開放管道流體流動（由引力推動）^[18]
馬蘭戈尼數	Mg		由熱表面張力偏差引起的馬蘭戈尼流
莫頓數	Mo		判斷汽泡或液滴形狀
彭巴數	$K_{M}$		溶液冷凍時的熱傳導與擴散^[19]
努塞爾特數	Nu	$Nu={\frac {hd}{k}}$	強制對流下的熱傳導
奧內佐格數	Oh		液體霧化，馬蘭戈尼流
佩克萊特數	Pe	$Pe={\frac {du\rho c_{p}}{k}}=(Re)(Pr)$	平流-擴散問題，總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係
剝離數			微觀結構與底物的黏附作用^[20]
導流系數	K		在帶電離子束中空間電荷的強度
圓周率	$\pi$		數學（圓周長與直徑之比）
泊松比	$\nu$		彈性（橫向與縱向負荷）
多孔性	$\phi$		地質學
功率因數			電子學（有功功率與視在功率之比）
功率數	$N_{p}$		攪拌器的功率消耗
普蘭特數	$Pr$	$Pr={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}$	黏性擴散率與熱擴散率之比
壓力系數	$C_{P}$		翼型上某個點的壓力
品質因子	$Q$		描述振子的阻尼
弧度	$\theta _{rad}$	$\theta _{rad}={\frac {s}{r}}$	量度平面角， $1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}$
瑞利數	$Ra$	$\mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} ={\frac {g\beta \Delta TL^{3}}{\nu \alpha }}$	自由對流中的浮力和黏滯力
折射率	n		電磁學、光學
雷諾數	$Re$	$Re={\frac {vL\rho }{\mu }}$	流體的慣性力與黏滯力之比^[5]
比重	RD		比重計，物質間的比較
理查遜數	Ri		浮力對流動穩定性的影響^[21]
洛氏硬度			硬度
滾動阻力係數	C_rr	$C_{rr}={\frac {N_{f}}{F}}$	車輛動力學
羅斯貝數	$Ro$	$Ro={\frac {U}{LF}}$	地球物理學中的慣性力，描述科里奧利力的影響程度
勞斯數	Z或P	$\mathrm {P} ={\frac {w_{s}}{\beta \kappa u_{*}}}$	沈積物流移
施密特數	Sc	${\mathit {Sc}}={\frac {\nu }{D}}={\frac {\mu }{\rho D}}$	流體動力學（質量轉移與擴散）^[22]
形狀因數	H		邊界層流動中排移厚度與動量厚度之比
舍伍德數	Sh	$\mathrm {Sh} ={\frac {h_{D}L}{D_{fluid}}}$	強制對流中的質量轉移
希爾茲參數	τ_∗或θ		流體運動造成的沈積物流移的臨界
索默菲德數			邊層潤滑^[23]
斯坦頓數	St	$St={\frac {h}{Gc_{p}}}={\frac {h}{\rho uc_{p}}}={\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }}$	強制對流中的熱傳遞
斯蒂芬數	Ste	$Ste={\frac {C_{p}\Delta T}{L}}$	相變時的熱傳遞
斯托克斯數	$S_{tk}$ 或 $S_{k}$	$Stk={\frac {\tau \,U_{o}}{d_{c}}}$	流體流中的粒子動力學
應變	$\epsilon$	$\epsilon ={\cfrac {\partial {F}}{\partial {X}}}-1$	材料科學、彈性
斯特勞哈爾數	St或Sr	$St={fL \over V}$	持續並脈動的流體流動^[24]
泰勒數	Ta	$Ta={\frac {4\Omega ^{2}R^{4}}{\nu ^{2}}}$	旋轉的流體流動
Ursell數	U	$U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}$	在淺流體層上表面引力波的非線性度
Vadasz數	Va	$Va={\frac {\phi Pr}{Da}}$	在多孔介質中流體流動時，該數影響多孔性 $\phi$ 、普蘭特數以及達西阻力系數
范特霍夫因子	i	$i=1+\alpha (n-1)$	化學定量分析（K_f及K_b）
Wallis參數	J^*	$\alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}$	多相流體流動時的表現速
韋伯數	We	$We={\frac {\rho v^{2}l}{\sigma }}$	表面極為彎曲的多相流體流動
魏森貝格數	Wi	$Wi={\dot {\gamma }}\lambda$	粘彈性流體流動^[25]
沃默斯利數	$\alpha$	$\alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}$	持續並脈動的流體流動^[26]

關閉

無因次的物理常數

一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波茲曼常數等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常數，α ≈ 1/137；
μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
α_s：強相互作用的耦合常數；
α_G：重力的耦合常數，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。

註釋

[註 1]
其他稱呼另有：無維量、無維度量、無維數量、無次元量等

參見

參考文獻

[1]
存档副本. [2022-04-28]. （原始內容存檔於2022-04-28）.
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https://www.termonline.cn/word/6875/1#
[3]
存档副本. [2022-04-28]. （原始內容存檔於2022-04-28）.
[4]
1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. （原始內容存檔於2012-10-04）.
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Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03）.
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[22]
Schmidt number 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2010-01-24.
[23]
Sommerfeld number. [2013-01-31]. （原始內容存檔於2016-03-16）.
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Strouhal number 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2009-03-25.
[25]
Weissenberg number 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2006-11-01.
[26]
Womersley number 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2009-03-25.

外部連結

John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）"
Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Naval Research Laboratory. p. 23 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 24 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 25 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."

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屬性

雖然無因次量本身沒有因次，但是它也有時被加以無因次的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的因次相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味着存在因次，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無因次量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百萬分比；ppb=10⁻⁹，十億分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。

兩個具有相同因次之比是沒有因次的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味着牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無因次量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無因次量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。