Додавання

Додавання (зазвичай позначається знаком плюс +) — одна з чотирьох основних арифметичних дій, іншими трьома є віднімання, множення та ділення^[2]. Додавання двох цілих чисел дає в результаті суму цих значень. Приклад на зображенні поруч показує два стовпці з трьома та двома яблуками, тобто п'ятьма яблуками. Це спостереження еквівалентно математичному виразу «3 + 2 = 5» (тобто «3 плюс 2 дорівнює 5»).

3 + 2 = 5, задача з яблуками, популярна в підручниках^[1]

Окрім підрахунку елементів, додавання також можна визначити та виконати без посилання на конкретні об'єкти, використовуючи натомість абстракції, які називаються числами, наприклад цілі числа, дійсні числа та комплексні числа. Додавання належить до арифметики, розділу математики. В алгебрі, іншому розділі математики, додавання також можна виконувати на абстрактних об'єктах, таких як вектори, матриці, підпростори та підгрупи.

Додавання має кілька важливих властивостей. Воно комутативне, тобто порядок операндів не має значення, і воно асоціативне, тобто коли додається більше двох чисел, порядок додавання не має значення. Процес повторного додавання 1 еквівалентний підрахунку (див. наступний елемент^[en]). Додавання 0 не змінює числа. Додавання також підкоряється правилам, пов'язаним із спорідненими операціями, такими як віднімання та множення.

Виконання додавання є однією з найпростіших числових операцій. Додавання малих чисел доступне навіть дітям ясельного віку; найпростіше завдання, 1 + 1, можуть виконувати немовлята віком від п'яти місяців і навіть деякі представники інших видів тварин. У початковій школі учнів вчать додавати числа в десятковій системі, починаючи з однозначних чисел і поступово переходячи до більш складних завдань. Механічні допоміжні засоби варіюються від стародавніх рахівниць до сучасних комп'ютерів, де дослідження найбільш ефективних реалізацій додавання все ще тривають.

Позначення та термінологія

Знак плюс

Додавання записується з використанням знаку плюс «+» між доданками^[3]; така форма запису називається інфіксною нотацією. Результат записується з використанням знаку рівності. Наприклад,

${\displaystyle 1+2=3}$ («один плюс два дорівнює три»)

${\displaystyle 5+4+2=11}$ (див. «асоціативність» нижче)

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$ (див. «множення» нижче)

Додавання у стовпчик — числа в стовпчику додаються, а сума записується під знаком підкреслення.

Також існують ситуації, коли «зрозуміло», що відбувається додавання, навіть якщо символ додавання не вказано:

• ціле число, за яким відразу йде дріб, вказує на суму цих двох виразів і називається змішаним числом^[4]. Наприклад,$${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$ Це позначення може викликати плутанину, оскільки в більшості інших контекстів, написання величин поряд^[en] означає множення^[5].

Сума ряду чисел виражається за допомогою сигма-нотації, яка компактно позначає ітерацію. Наприклад,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

Доданки

Числа або об'єкти, які потрібно додати в загальній операції додавання, разом називаються доданками; в англійські мові — англ. terms^[6], англ. addends^[7][8][9] або англ. summands^[10]; ця термінологія поширюється на додавання кількох доданків. Доданки слід відрізняти від множників, які є операндами множення. Деякі автори називають перший доданок англ. augend^[7][8][9]. Насправді в епоху Відродження, багато авторів взагалі не вважали перший доданок «доданком». У наш час, завдяки комутативній властивості додавання, термін англ. augend використовується рідко, і обидва члени зазвичай називаються англ. addends^[11].

Уся наведена вище англійська термінологія походить від латинської мови. Англійські слова «addition» і «add» походять від латинського дієслова addere, яке в свою чергу складається з ad і dare («давати»), від слова з праіндоєвропейським коренем^[en] *deh₃- («давати»); таким чином англ. add означає давати^[11]. Використання суфікса герундива^[en] -nd призводить до англ. addend («те, що потрібно додати»)^[a]. Так само від augere («збільшувати»), утворюється augend («те, що потрібно збільшити»).

Ілюстрація, перемальована з The Art of Nombryng, одного з перших англійських арифметичних текстів, 15 століття^[12].

англ. Sum та англ. summand походять від латинського іменника summa («найвищий, вершина») та пов'язаного з ним дієслова summare. Це доречно не лише тому, що сума двох додатних чисел більша за будь-яке з них, а й тому, що стародавні греки та римляни зазвичай записували додавання знизу вгору, на відміну від сучасної практики написання додавання зверху вниз, так що сума була буквально зверху доданків^[13]. Addere та summare датуються принаймні до Боеція, якщо не більш ранніх римських письменників, таких як Вітрувій і Фронтін; Боецій також використовував кілька інших термінів для операції додавання. Пізніші терміни середньоанглійської мови adden і adding були популяризовані Чосером^[14].

Знак плюс «+» (Юнікод: U+002B; ASCII: +) є абревіатурою латинського слова et, що означає «і»^[15]. Він зустрічається в математичних роботах, датованих принаймні 1489 роком^[16].

Інтерпретації

Додавання використовується для моделювання багатьох фізичних процесів. Навіть для простого випадку додавання натуральних чисел існує багато різних інтерпретацій і навіть більше способів візуального представлення.

Об'єднання множин

Одна множина містить 3 фігури, інша — 2. Загальна кількість фігур становить 5, що є наслідком додавання об'єктів із двох множин (3 + 2 = 5).

Мабуть, найпростішою інтерпретацією додавання є об'єднання множин:

• Коли дві або більше непересічних колекцій об'єднуються в одну колекцію, кількість об'єктів в об'єднаній колекції є сумою кількості об'єктів у вихідних колекціях.

Цей варіант інтерпретації легко візуалізувати, з мінімальним ризиком двозначності. Він також використовується у вищій математиці (див. більш строге визначення, натхненне цією інтерпретацією: § Натуральні числа). Однак неочевидно, як цю інтерпретацію додавання можна поширити на дроби та від'ємні числа^[17].

Один із можливих підходів полягає в тому, щоб розглянути колекції об'єктів, які можна легко розділити на частини, наприклад торти або, навіть краще, стрижні, які можна розділити на сегменти^[18]. Замість того, щоб просто поєднувати колекції сегментів, стрижні можна з'єднати кінцями, що ілюструє інше розуміння додавання: додаються не стрижні, а їх довжини.

Додавання на числовій прямій

Візуалізація додавання 2 + 4 = 6 на числовій прямій. Переміщення на 2 і потім на 4 — це те ж саме, що і переміщення на 6.

Ще один варіант візуалізації додавання 2 + 4 = 6 на числовій прямій. Переміщення на 4 — це те ж саме, що і чотири переміщення по 1.

Інша інтерпретація трактує додавання як переміщення на величину, що додається:

Коли початкова позиція переміщується на додану довжину, отримана нова позиція дорівнює сумі вихідної позиції та довжини, доданої до неї^[19].

Суму a + b можна інтерпретувати як бінарну операцію об'єднання a і b в алгебраїчному сенсі, також її можна інтерпретувати як додавання b одиниць до числа a. В останній інтерпретації частини суми a + b мають асиметричні ролі, а операція a + b розглядається як застосування унарної операції +b до числа a^[20]. Замість того, щоб називати обидва числа a і b доданками, більш доречним було б називати a збільшуваним числом (англ. augend) в цьому випадку, оскільки a має пасивну роль. Цей підхід також може бути корисним при обговоренні віднімання, адже кожна унарна операція додавання має зворотну унарну операцію віднімання і навпаки.

Властивості

Комутативність

Візуалізація 4 + 2 = 2 + 4 за допомогою блоків

Додавання є комутативним: перестановка доданків не змінює суму. У символьному записі: якщо a і b — будь-які два числа, то

a + b = b + a.

Комутативність додавання відома під назвою «комутативний закон додавання» або «комутативна властивість додавання». Деякі інші бінарні операції є комутативними, наприклад множення, але багато інших, наприклад віднімання та ділення, не є комутативними.

Асоціативність

Візуалізація 2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 за допомогою стрижнів з сегментами

Додавання є асоціативним: при додаванні трьох і більше чисел порядок виконання дій не змінює результат.

Наприклад, чи має вираз a + b + c означати (a + b) + c або a + (b + c)? З огляду на те, що додавання є асоціативним, вибір одного із запропонованих варіантів не має значення. Для будь-яких чисел a, b, і c виконується рівність (a + b) + c = a + (b + c). Наприклад, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Коли додавання використовується разом з іншими операціями, черговість операцій стає важливою. У стандартному порядку операцій додавання має нижчий пріоритет, ніж піднесення до степеня, корінь n-го степеня, множення та ділення, але має рівний пріоритет із відніманням^[21].

Нейтральний елемент

Ілюстрація додавання 5 + 0 = 5 на прикладі фігури з точками

Якщо додати нуль до будь-якого числа, то значення цього числа не зміниться; нуль — це нейтральний елемент для операції додавання, також відомий як адитивна тотожність (англ. additive identity^[en]). У символьному вигляді: для будь-якого a,

a + 0 = 0 + a = a.

Цей закон вперше був описаний Брахмагуптою в його праці «Виправлене вчення про Брахму^[en]» в 628 р. н.е., хоча він записав його як три окремих закони: для від'ємних, додатних та нульових значень a, і він використовував слова, а не алгебраїчні символи для його опису. Пізніше індійські математики^[en] вдосконалили цю концепцію; близько 840 року Магавіра^[en] написав, що «нуль стає таким самим, як те, що до нього додається», що еквівалентно запису 0 + a = a. У 12 столітті Бгаскара II написав: «при додаванні або відніманні нуля величина, додатна чи від'ємна, залишається незмінною», що відповідає запису a + 0 = a^[22].

Наступне число

У контексті цілих чисел, додавання одиниці також відіграє особливу роль: для будь-якого цілого числа a ціле число (a + 1) є найменшим цілим числом, більшим за a, також відомим як наступне число^[en] після a^[23]. Наприклад, 3 є наступним числом після 2, а 7 є наступним числом після 6. Враховуючи цей зв'язок, значення «a» + «b» можна розглядати, як ${\displaystyle b}$-е наступне число після «а», таким чином, додавання можна визначити як ітеративне послідовне знаходження наступного числа. Наприклад, 6 + 2 буде 8, оскільки 8 йде після 7, яке йде після 6, отже, 8 — це друге наступне число після 6.

Одиниці вимірювання

Для додавання фізичних величин їх значення слід привести до однакових одиниць вимірювання^[24]. Наприклад, якщо додати 50 мілілітрів і 150 мілілітрів, то вийде 200 мілілітрів. Однак, якщо до 5 футів додати 2 дюйми, загальна сума становитиме 62 дюйми, оскільки 60 дюймів еквівалентно 5 футам. З іншого боку, зазвичай немає сенсу додавати 3 метри і 4 квадратних метри, бо ці одиниці вимірювання не можна порівнювати; такі міркування є ключовими в аналізі розмірностей^[25].

Виконання додавання

Вроджена здібність

Дослідження розвитку математичних здібностей, які розпочалися в 1980-х роках, розглядали феномен звикання: немовлята довше дивляться на несподівані для них ситуації^[26]. Фундаментальний експеримент Карен Вінн^[en] у 1992 році з ляльками Міккі Мауса, якими маніпулювали за ширмою, продемонстрував, що п'ятимісячні немовлята очікують, що 1 + 1 буде 2, і вони відносно здивовані, коли в контексті ситуації 1 + 1 еквівалентно або 1 або 3. Пізніше цей результат був підтверджений в інших лабораторіях з використанням різних методів^[27]. Інший експеримент 1992 року з дітьми старшого віку, від 18 до 35 місяців, використовував розвиток моторних функцій дітей, дозволяючи їм діставати кульки для настільного тенісу з коробки; наймолодші діти добре справлялися з невеликою кількістю кульок, а старші могли обчислювати суму до 5^[28].

Навіть деякі тварини демонструють обмежену здатність до додавання, особливо примати. Експеримент 1995 року був аналогічний до експерименту Вінн 1992 року, але замість ляльок використовувалися баклажани. Виявилося, що макаки-резус і едипові тамарини демонструють здібності, схожі з людськими немовлятами. Що вражає ще більше, після навчання значенням арабських цифр одна шимпанзе змогла обчислити суму двох цифр без подальшого навчання^[29]. Нещодавно було з'ясовано, що індійські слони здатні виконувати базові арифметичні дії^[30].

Опанування додаванням дітьми

Зазвичай діти спочатку опановують лічбу. Коли діти отримують завдання, яке вимагає поєднання двох і трьох предметів, вони моделюють ситуацію за допомогою фізичних об'єктів, часто пальців або малюнка, а потім підраховують загальну суму. Здобуваючи досвід, вони вивчають або відкривають стратегію «підрахунку»: коли їх просять знайти результат операції «два плюс три», вони перелічують два числа, що йдуть після числа три, промовляючи: «три, чотири, п'ять» (зазвичай загинаючи пальці), і в підсумку отримують п'ять. Ця стратегія здається майже універсальною; діти можуть легко перейняти її у однолітків або вчителів^[31]. Більшість дітей самі доходять до цього. З додатковим досвідом, діти вчаться додавати швидше, використовуючи комутативність додавання шляхом підрахунку від більшого числа, в цьому випадку, починаючи з трьох та рахуючи: «чотири, п'ять». Згодом діти починають пригадувати певні факти додавання (приклади додавання напам'ять^[en]), завдяки досвіду або механічному запам'ятовуванню. Як тільки деякі факти запам'ятовуються, діти починають виводити невідомі факти з відомих. Наприклад, дитина, яка додає шість і сім, може знати, що 6 + 6 = 12, і зробити висновок, що 6 + 7 на один більше, тобто 13^[32]. Такі похідні факти можна знайти дуже швидко, і більшість учнів початкової школи зрештою покладаються на суміш завчених і похідних фактів, щоб швидко виконувати дії додавання^[33].

У різних країнах вивчення цілих чисел і арифметики починається в різному віці, у багатьох країнах навчання додавання починається ще в дошкільних закладах^[34]. При цьому в усьому світі додавання вчать до кінця першого року початкової школи^[35].

Таблиця додавання

Дітям часто пропонують таблицю додавання пар чисел від 0 до 9 для запам'ятовування.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Десяткова система

Для успішного додавання в десятковій системі потрібно пам'ятати або вміти швидко виводити 100 «фактів (прикладів) додавання» для однорозрядних чисел. Можна механічно^[en] заучувати всі факти, але шаблонні стратегії є більш повчальними та ефективнішими для більшості людей^[36]:

• Комутативна властивість: використання шаблону a + b = b + a зменшує кількість «фактів про додавання» зі 100 до 55.
• На один чи два більше: додавання 1 або 2 — це базова задача, яку можна вирішити переліченням (підрахунком) або, зрештою, покладаючись на інтуїцію^[36].
• Нуль: оскільки нуль є нейтральним елементом для операції додавання (адитивною тотожністю), додавання нуля є тривіальним. Втім, під час вивчення арифметики деяким учням додавання здається процесом, у якому доданки завжди збільшуються; акцент на словесному формулюванні задачі може допомогти зрозуміти «винятковість» нуля^[36].
• Подвоєння: додавання числа до самого себе пов'язано з рахуванням по два та з множенням. Шаблонна стратегія подвоєння є основою для багатьох пов'язаних з нею стратегій, і учні вважають їх відносно легкими для сприйняття^[36].
• Майже-подвоєння: такі суми, як 6 + 7 = 13 можна швидко вивести з стратегії подвоєння 6 + 6 = 12, додавши одиницю, або з 7 + 7 = 14, але віднімаючи одиницю^[36].
• П'ять і десять: суми, які мають вигляд 5 + x і 10 + x, зазвичай запам'ятовуються рано і можуть бути використані для виведення інших фактів. Наприклад, 6 + 7 = 13 можна отримати з 5 + 7 = 12 шляхом додавання одиниці^[36].
• Додавання до десятків: продвинута стратегія використовує 10 як проміжне значення для сум, що містять 8 або 9; наприклад, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14^[36].

Коли учні дорослішають, вони запам’ятовують більше фактів і вчаться швидко й вільно виводити інші факти. Багато учнів ніколи не запам’ятовують усі факти, але все одно можуть швидко знайти будь-який базовий факт^[33].

Перенесення

Докладніше: Перенесення (арифметика)^[en]

Стандартний алгоритм додавання багаторозрядних чисел полягає у вирівнюванні доданків по вертикалі та додаванні стовпців, починаючи зі стовпця одиниць справа. Виконують додавання цифр окремо в кожному стовпчику, починаючи з правого. Якщо сума цифр у стовпчику перевищує 10, додаткова цифра «переноситься^[en]» в наступний стовпець. Наприклад, у додаванні 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16 і цифра 1 переноситься в наступний стовпчик^[b]. В альтернативному методі додавання починається з найбільш значущої цифри зліва; у цьому методі перенесення виконується дещо грубіше, але він дозволяє швидше отримати приблизну оцінки суми. Є багато інших альтернативних методів.

З кінця 20-го століття деякі освітні організації США, включаючи англ. TERC, вирішили видалити традиційний метод перенесення зі своїх навчальних програм^[37]. Це рішення було піддано критиці^[38], тому деякі штати та округи не підтримали цей експеримент.

Додавання десяткових дробів

Спосіб додавання десяткових дробів є простою модифікацією описаного вище додавання багаторозрядних чисел^[39]. При додаванні в стовпчик дроби розташовують таким чином, щоб коми знаходилися рівно одна під одною. Якщо необхідно, до коротшого десяткового дробу можна дописати нулі справа і зліва (див. нуль у кінці^[en] і провідні нулі), щоб зробити його такої ж довжини, як і довший десятковий дріб. Отже, додавання здійснюється так само, як і в описаному вище способі додавання багаторозрядних чисел, тільки кома ставиться у відповіді саме там, де вона знаходиться в доданках.

Наприклад, суму 45,1 + 4,34 можна обчислити таким чином:

  45,10
+ 04,34
———————
  49,44

Експоненційний запис

Докладніше: Експоненційний запис

В експоненційному записі числа записують у вигляді ${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$, де ${\displaystyle a}$ — мантиса і ${\displaystyle 10^{b}}$ — експоненційна частина. Щоб додати два числа, записані в експоненційній формі, вони повинні мати однакову експоненційну частину.

Наприклад:

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$

Додавання в інших системах числення

Докладніше: Двійкова система числення

Додавання чисел з іншими основами схоже на додавання в десятковій системі. Як приклад можна розглянути додавання у двійковій системі числення^[40]. Додавання двох однорозрядних двійкових чисел з використанням перенесення є доволі простим:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, 1 переноситься (оскільки 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Додавання двох цифр «1» дає цифру «0», а 1 потрібно додати до наступного стовпчика. Це подібно до того, що відбувається в десятковій системі, якщо при додаванні певних одноцифрових чисел результат дорівнює або перевищує значення основи (10), цифра ліворуч збільшується:

5 + 5 → 0, 1 переноситься (оскільки 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, 1 переноситься (оскільки 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Ця операція відома під назвою «перенесення»^[41]. Коли результат додавання перевищує максимальне значення цифри, процедура полягає в тому, щоб «перенести» надлишок, поділений на основу (тобто на 10 в десятковій системі), ліворуч, додавши його до наступного розряду. Це пов'язано з тим, що значення в наступному розряді в ${\displaystyle N}$ разів більше (у системі числення з основою ${\displaystyle N}$), ніж значення в поточному розряді. Перенесення працює так само і в двійковій системі:

  1 1 1 1 1    (перенесені цифри)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

У цьому прикладі додаються два числа: 01101₂ (13₁₀) і 10111₂ (23₁₀). Верхній рядок показує перенесені цифри. Починаючи з крайнього правого стовпця: 1 + 1 = 10₂.1 переноситься ліворуч, а 0 записується внизу крайнього правого стовпця. Додається другий стовпчик справа: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переноситься, а 0 записується в нижньому рядку. Третій стовпчик: 1 + 1 + 1 = 11₂. Цього разу 1 переноситься, а в нижньому рядку записується 1. У підсумку отримуємо остаточну відповідь 100100₂ (36₁₀).

Комп'ютери

Додавання за допомогою інвертувального суматора.

Аналогові комп'ютери працюють безпосередньо з фізичними величинами, тому їх механізм додавання залежить від виду доданків. Механічний інтегратор може представляти два доданки у вигляді позицій ковзних блоків, в цьому випадку їх можна додати за допомогою усереднювального важеля. Якщо доданки представлені у вигляді швидкостей обертання двох валів, то їх можна додати за допомогою диференціалу. Гідравлічний суматор може додавати тиски у двох камерах, використовуючи другий закон Ньютона, щоб врівноважити сили на збірку поршнів. Найтиповіший випадок застосування аналогового комп'ютера — це додавання двох напруг (відносно заземлення); це можна грубо реалізувати за допомогою схеми з резисторами, а у вдосконаленій версії використовується операційний підсилювач^[42].

Операція додавання є базовою у персональному комп'ютері. Продуктивність операції додавання і особливо обмеження, пов'язані з механізмом перенесення, впливають на загальну продуктивність комп'ютера.

Частина різницевої машини Чарльза Беббіджа містить механізми додавання і перенесення

Абак, який також називають рахівницею — це обчислювальний прилад, який використовували за багато століть до прийняття сучасної системи числення, і який все ще широко застосовують купці, торговці та клерки в Азії, Африці та на інших континентах; передбачають, що абак створений не пізніше 2700—2300 до н. е., тоді його використовували шумери^[43].

1642 року Блез Паскаль винайшов механічний калькулятор, під назвою Паскаліна^[44][45]; це була перша операційна сумувальна машина. У цьому калькуляторі механізм перенесення здійснювався завдяки гравітації. Це був єдиний операційний калькулятор у 17 столітті і найперший автоматичний цифровий комп'ютер. Паскаліна була обмежена своїм механізмом переносу, який дозволяв крутити колеса лише в один бік і, таким чином, додавати. Щоб відняти, користувачеві потрібно було використати другий набір цифр, для представлення результату, та методи доповнення, які містили таку саму кількість кроків, що й додавання. Джованні де Полені продовжив справу Паскаля, побудувавши другий функціональний механічний калькулятор у 1709 році. Циферблат цього калькулятора був з дерева, і, одного разу встановлений, він міг перемножувати два числа між собою автоматично.

«Суматор» логічної схеми, яка додає два двійкові однорозрядні числа A та B, на вхід подається перенесення C_in, на виході біт суми S та значення переносу C_out.

Суматори виконують цілочисельне додавання в електронних цифрових обчислювальних машинах, зазвичай використовуючи бінарну арифметику. В найпростішій структурі використовується суматор хвильового переносу (англ. Ripple-carry adder) (вихідне перенесення попереднього в ланцюжку суматора є вхідним перенесенням для наступного суматора), це дозволяє виконувати додавання для багаторозрядних чисел. Невелике поліпшення представлено в суматорі з пропуском перенесення^[en], який діє подібним до людської інтуїції чином; він не виконує всі перенесення в сумі 999 + 1, а обходить групу дев'яток і перескакує одразу до відповіді^[46].

На практиці додавання можна виконувати через додавання по модулю два і операцію «І» в поєднанні з іншими бітовими операціями, як показано нижче. Обидві ці операції просто реалізувати в ланцюгах суматорів, які, в свою чергу, можна об'єднувати в складніші логічні операції. У сучасних цифрових комп'ютерах додавання цілих чисел є найшвидшою операцією, водночас воно має величезний вплив на загальну продуктивність комп'ютера, оскільки ціле додавання лежить в основі всіх операцій з рухомою комою, а також в таких завданнях, як генерація адрес під час доступу до пам'яті і вибірка команд під час визначеного порядку їх виконання. Щоб збільшити швидкість, сучасні комп'ютери обчислюють значення в разрядах паралельно; такі схеми називаються вибірка перенесення, передбачення перенесення^[en] і псевдоперенесення у суматорі Лінга^[en]. У більшості випадків реалізація додавання на комп'ютері є гібридом останніх трьох конструкцій^[47][48]. На відміну від паперу, додавання на комп'ютері часто змінює доданки. На стародавньому абаці та рахівниці під час виконання операції додавання обидва доданки знищувалися, залишалася лише сума. Вплив абака на математичне мислення був настільки великим, що в ранніх латинських текстах часто стверджувалося, що в процесі додавання «числа з числом» обидва числа зникають^[49]. Повертаючись до сучасності, зазначимо, що інструкція ADD мікропроцесора замінює значення першого доданку сумою, другий доданок залишається без змін^[50]. У мові програмування високого рівня оцінювання a + b не змінює ні a, ні b; якщо ставиться завдання записати суму в a, то це потрібно явно вказати, зазвичай з виразом a = a + b. У деяких мовах програмування, таких як C або C++ цей запис скорочується до a += b.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

Якщо результат додавання занадто великий, то на комп'ютері відбувається арифметичне переповнення, яке призводить до неправильного результату. Непередбачуване арифметичне переповнення є доволі поширеною причиною програмних помилок. Такі помилки не завжди легко виявити і діагностувати, оскільки вони можуть проявитися при дуже великих вхідних наборах даних, які не часто застосовують у тестах^[51].

Визначення для конкретних множин

Додавання натуральних чисел

Є два популярних способи визначення суми двох натуральних чисел a і b. Якщо натуральні числа визначають через потужність множини з кінцевою кількістю елементів, тоді доцільно дати таке визначення суми:

• Нехай N(S) — потужність множини S. Візьмемо дві множини A і B, що не перетинаються, причому N(A) = a і N(B) = b. Тоді a + b можна визначити як: ${\displaystyle N(A\cup B)}$^[52][53][54].

Тут, ${\displaystyle A\cup B}$ — це об'єднання множин A і B. В альтернативній версії цього визначення множини A і B перекриваються і тоді за суму беруть їх диз'юнктне об'єднання, механізм, який дозволяє відокремлювати загальні елементи, внаслідок чого ці елементи враховуються двічі.

Інше відоме визначення рекурсивне:

• Нехай n⁺ — наступне за n натуральне число, наприклад 0⁺=1, 1⁺=2. Нехай a + 0 = a. Тоді загальна сума визначається рекурсивно: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Звідси 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2^[55]>.

В аксіоматиці Пеано вся арифметика побудована на додаванні одиниці, тобто наступного числа.

Щоб до натурального числа ${\displaystyle \ m}$ додати натуральне число ${\displaystyle \ n}$ потрібно збільшити число ${\displaystyle \ m}$ на одиницю ${\displaystyle \ n}$ разів.

Наприклад,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

Додавання цілих чисел

Ілюстрація правил додавання додатних і від'ємних чисел.

Додати (−2) і 1, використовуючи лише додатні числа: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.

Найпростіша концепція цілого числа полягає в тому, що ціле число додається з його абсолютної величини і знака (зазвичай, число є додатним або від'ємним). У множині цілих чисел існує число 0 (нуль) — це особливий випадок: нуль не є ані додатним, ані від'ємним числом. Додавання його до будь-якого іншого цілого числа не змінює цього числа. Відповідне визначення додавання має враховувати такі випадки:

• Нехай n — ціле число і |n| - його абсолютне значення. Нехай a та b — цілі числа. Якщо яке-небудь з чисел a або b дорівнює нулю, то вважаємо таке число нейтральним елементом (адитивною одиницею). Якщо a і b обидва додатні, тоді припустимо a + b = |a| + |b|. Додавання додатних цілих чисел аналогічне додаванню натуральних чисел. Якщо a і b обидва від'ємні, тоді a + b = −(|a|+|b|). Якщо a і b мають різні знаки, то a + b — це різниця між |a| і |b|, і знак перед цією різницею ставиться такий, який стояв перед доданком з найбільшим абсолютним значенням^[56][57]. Наприклад, розглянемо суму: -6 + 4 = -2; оскільки у чисел -6 і 4 різні знаки, то їх абсолютні значення віднімаються, і оскільки абсолютне значення від'ємного числа тут більше, ніж абсолютне значення додатного, то відповідь буде від'ємною.

Хоча це визначення може бути корисним для конкретних завдань, досить важко робити якісь загальні докази, оскільки потрібно розглядати дуже багато випадків.

Набагато зручнішою концепцією цілих чисел є побудова груп Гротендіка. Головна ідея полягає в тому, що кожне ціле число можна представити (не одним способом) як різницю двох натуральних чисел, тому ми можемо визначити ціле число, як різницю двох натуральних чисел. Тоді додавання визначається наступним чином через віднімання:

• Нехай є два цілих числа a − b і c − d, де a, b, c і d — натуральні числа, тоді (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d)^[58].

Якщо другий доданок від'ємний, то для отримання суми потрібно зменшити перший доданок на відповідну кількість одиниць.

Наприклад,

5 + (-4) = 5 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 4 + (-1) + (-1) + (-1) = 3 + (-1) + (-1) = 2 + (-1) = 1

Додавання раціональних чисел

Для додавання раціональних чисел необхідно привести їх до спільного знаменника, а потім додати чисельники, взявши спільний знаменник за знаменник суми:

• Припустимо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Наприклад,

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$.

Додавання дробів з однаковими знаменниками набагато простіше; в цьому випадку можна просто додати чисельники, залишивши знаменник без зміни: ${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$наприклад ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$^[59].

Комутативність і асоціативність додавання раціональних чисел є наслідком законів цілочисельної арифметики^[60]. Більш строге і загальне визначення (див. у статті поле дробів).

Додавання ірраціональних чисел

Кожне ірраціональне число є границею певної послідовності раціональних наближень. Якщо ірраціональне число ${\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$, а ірраціональне число ${\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}$, то

${\displaystyle \ a+b=\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n}+b_{n})}$

Додавання комплексних чисел

При додаванні комплексних чисел окремо додаються дійсні і уявні частини

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).}$

Додавання векторів

Для додавання векторів, визначених у векторному просторі з базисом потрібно додати їхні компоненти

${\displaystyle \ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})}$

Додавання матриць

Додавати можна матриці, які мають однакове число рядків і стовпчиків. Сума таких матриць має теж саме число рядків і стовпчиків, а кожен елемент матриці суми є сумою елементів матриць-доданків. Наприклад,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$

Додавання множин

Для множин операція об'єднання задовольнає вимогам комутативності і асоціативності, а тому є аналогом додавання.

Додавання елементів груп

В загальному випадку групові операції не мають властивості комутативності. Групи, для яких групова операція комутативна, називаються абелевими. Якщо групову операцію абелевої групи позначають плюсом, то таку групу називають адитивною.

Додавання в математичній логіці

Докладніше: Булева алгебра

В математичній логіці додаванню відповідає операція АБО. Результат цієї операції ІСТИНА якщо хоча б один із операндів має значення ІСТИНА.

Операція додавання в булевій алгебрі позначається символом ${\displaystyle \lor }$.

Логіка

У логіці додаванням називають коректну, просту форма аргументації:

A, отже, A або B.

або у логіко-операторній нотації:

${\displaystyle A\vdash A\lor B}$.

Аргумент має одне вихідне припущення A. Із істинності A слідує що A або B є істиною.

Приклад аргументу у формі додавання:

Демократія є найкращою формою управління.

Отже, демократія є найкращою формою управління, або кожен повинен голосувати.

Див. також

• Чотири арифметичні дії
• Віднімання
• Множення
• Ділення
• Рахування китайськими паличками

Пояснювальні примітки

1. Addend не є латинським словом; в латинській мові воно має бути додатково сполучене, як у numerus addendus («число, яке потрібно додати»).
2. Деякі автори вважають, що термін «перенесення» може бути невідповідним для освіти; Ван де Валле (с. 211) називає його «застарілим і концептуально оманливим», віддаючи перевагу слову «обмін» (англ. trade). Однак «перенесення» (англ. carry) залишається стандартним терміном.

Примітки

1. From Enderton (p. 138): «...виберіть дві множини K і L з K = 2 і L = 3. Зручно використовувати множини пальців; підручники надають перевагу множинам яблук».
2. Lewis, Rhys (1974). Arithmetic. First-Year Technician Mathematics (англ.). Palgrave, London: The MacMillan Press Ltd. с. 1. doi:10.1007/978-1-349-02405-6_1. ISBN 978-1-349-02405-6.
3. Addition. www.mathsisfun.com. Процитовано 25 серпня 2020.
4. Devine et al. p. 263
5. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161
6. Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics . Section 5.1
7. Shmerko, V.P.; Yanushkevich [Ânuškevič], Svetlana N. [Svitlana N.]; Lyshevski, S.E. (2009). Computer arithmetics for nanoelectronics (англ.). p.80: CRC Press.
8. Schmid, Hermann (1974). Decimal Computation (англ.) (вид. 1st). Binghamton, NY: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76180-X., Schmid, Hermann (1983) [1974]. Decimal Computation (англ.) (вид. reprint of 1st). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0.
9. Weisstein, Eric W. Addition. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 25 серпня 2020.
10. Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38
11. Schwartzman p. 19
12. Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104
13. Шварцман (p. 212) приписує додавання вгору грекам і римлянам, кажучи, що це було приблизно так само поширено, як і додавання вниз. З іншого боку, Карпінський (p. 103) пише, що Фібоначчі «вводить новацію в написанні суми над доданками»; незрозуміло, чи Карпінський стверджує це як оригінальний винахід чи просто запровадження практики в Європі
14. Karpinski pp. 150–153
15. Cajori, Florian (1928). Origin and meanings of the signs + and -. A History of Mathematical Notations, Vol. 1 (англ.). The Open Court Company, Publishers.
16. plus, Оксфордський словник англійської мови (вид. 3-тє), Oxford University Press, Вересень 2005 (Необхідна підписка або членство в публічній бібліотеці Сполученого Королівства .)
17. Див. Viro 2001 для прикладу складності, яка виникає при додаванні з використанням множин, які мають «потужність множини дробів».
18. Adding it up (p. 73) порівнює додавання мірних стрижнів до додавання множин котів: «Дюйми, наприклад, можна розділити на частини, які важко відрізнити від цілого, за винятком того, що вони коротші; тоді як поділ котів на частини є болючим і це серйозно змінює їхню природу»
19. Mosley, F. (2001). Using number lines with 5-8 year olds. Nelson Thornes. p.8
20. Li, Y., & Lappan, G. (2014). Mathematics curriculum in school education. Springer. p. 204
21. Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. 2.4.1.1.. У Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (ред.). Taschenbuch der Mathematik (нім.). Т. 1. Переклад: Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (вид. 23). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch^[en] (and B.G. Teubner Verlagsgesellschaft^[en], Leipzig). с. 115—120. ISBN 978-3-87144-492-0.
22. Kaplan pp.69–71
23. Hempel, C. G. (2001). The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. p. 7
24. R. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3
25. Moebs, William та ін. (2022). 1.4 Dimensional Analysis. University Physics Volume 1 (англ.). OpenStax^[en]. ISBN 978-1-947172-20-3.
26. Wynn p.5
27. Wynn p.15
28. Wynn p.17
29. Wynn p.19
30. Randerson, James (21 August 2008). Elephants have a head for figures. The Guardian (англ.). Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 29 March 2015.
31. F. Smith p.130
32. Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan (1999). Children's mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann. ISBN 0-325-00137-5.
33. Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. (2008). First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. Journal for Research in Mathematics Education. 39 (2): 153—183. doi:10.2307/30034895.
34. Beckmann, S. (2014). The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers. International Journal of STEM Education, 1(1), 1-8. Chicago
35. Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). A coherent curriculum. American educator, 26(2), 1-18.
36. Fosnot and Dolk p. 99
37. Vertical addition and subtraction strategy. primarylearning.org (англ.). Процитовано 20 квітня 2022.
38. Reviews of TERC: Investigations in Number, Data, and Space. nychold.com (англ.). Процитовано 20 квітня 2022.
39. Rebecca Wingard-Nelson (2014) Decimals and Fractions: It's Easy Enslow Publishers, Inc.
40. Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) Electronic Digital System Fundamentals The Fairmont Press, Inc. p. 155
41. P.E. Bates Bothman (1837) The common school arithmetic. Henry Benton. p. 31
42. Трайт і Рождерс, 1960, с. 41—49.
43. Джорджс, 2001, с. 11.
44. Маргун, 1994, с. 48.
45. Танон, 1963, с. 62.
46. Флінн і Оверман, 2001, с. 2—8.
47. Флінн і Оверман, 2001, с. 1—9.
48. Санг-Су Йо, 2010, с. 194.
49. Карпінскі, 1925, с. 102—103.
50. Хоровець і Гілл, 2009, с. 679.
51. Блотч, 2006, с. 1.
52. Бегл, 1975, с. 49.
53. Джонсон, 1975, с. 120.
54. Девайн і співавтори, 1991, с. 75.
55. Ендертон, 1977, с. 79.
56. Сміт К., 1980, с. 234.
57. Спаркс, 1979, с. 66.
58. Ендертон, 1977, с. 92.
59. Ширлет, 2013, с. 43.
60. Ендертон, 1977, с. 104.

Посилання

• Додавання // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.