Сума

Су́ма (лат. summa) — результат операції додавання.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Сума (значення).

Наприклад, у виразі

4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.

Сума позначається знаком + (плюс).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ ${\displaystyle \sum }$ (велика грецька літера сигма), наприклад

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots a_{N}}$.

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$.

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,

${\displaystyle 5-4=5+(-4)}$

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$

Визначена сума

Часто для скорочення суму з n доданків a_k, a_k+1, …, a_N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

${\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}$

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a_i по i від k до N.
Для зручності замість ${\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}}$ інколи пишуть ${\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}$, де ${\displaystyle P(i)\ }$ — деяке відношення для ${\displaystyle i\ }$, таким чином ${\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}$ це скінченна сума всіх ${\displaystyle a_{i}\ }$, де ${\displaystyle i\in Z:P(i)\ }$
Властивості визначеної суми:

1. ${\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}$
4. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}$

Приклади

1. Сума арифметичної прогресії:

   ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}$

2. Сума геометричної прогресії:

   ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}$

3. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}$

Чому це так  

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}$

Чому це так  

Доведення:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}$

Чому це так,бо так  

Доведення:

${\displaystyle (p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=}$

${\displaystyle =(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=}$

${\displaystyle ={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=}$

${\displaystyle ={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}}$

1. • При ${\displaystyle p=10\ }$ отримуємо ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}$, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
     ${\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}$

Невизначена сума

Невизначеною сумою a_i по i називається така функція f(i), яка позначається ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}$, що ${\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}}$.

Формула Ньютона-Лейбніца

Докладніше: Теорема Ньютона-Лейбніца

Якщо знайдена невизначена сума ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}$, тоді ${\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)}$. 

Етимологія

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)^{[джерело?]}.

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

Див. також

• Портал «Математика»

• Добуток
• Контрольна сума