Формула Ньютона — Ляйбніца

Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна ${\displaystyle F(x)}$, тоді визначений інтеграл від функції ${\displaystyle f(x)}$ можна обчислити за формулою:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{b}={\Bigl .}F(x){\Bigr |}_{a}^{b}}$

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження

Існує дві частини теореми. Перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.^[1]

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt.}$

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку (a, b), і

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

для всіх x з (a, b).

Наслідок

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина

Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення^[2] або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

${\displaystyle F'(x)=f(x).\ }$

Якщо f є інтегровною за Ріманом на [a, b] тоді

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Для двох довільних чисел x₁ і x₁ + Δx з [a, b], маємо

${\displaystyle F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt}$

і

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

Відніманням отримуємо

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)}$

Можна показати, що

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

Підставляємо попереднє в (1), що дає

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)}$

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число ${\displaystyle c(\Delta x)}$ з [x₁, x₁ + Δx] таке, що

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f\left(c(\Delta x)\right)\Delta x.}$

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість ${\displaystyle c(\Delta x),}$ але читач має усвідомлювати, що c залежить від ${\displaystyle \Delta x}$. Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x.}$

Ділення на Δx дає

${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$

Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x₁.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).}$

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x₁.

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)}$

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x₁, x₁ + Δx], отже x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Також, ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}}$ and ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}.\,}$

Тому, відповідно до стискної теореми,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}.}$

Підставляємо в (3) і отримуємо

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).}$

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}).\ }$

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 [Архівовано 22 лютого 2014 у Wayback Machine.])

Доведення наслідку

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$

Доведення другої частини

Доведення через суми Рімана.

Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x₁, …, x_n такі, що

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.\,}$

З цього слідує

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).\,}$

Тепер додамо кожне F(x_i) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})+\cdots -F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$

Попереднє можна записати як таку суму:

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})].\qquad (1)}$

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

${\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}.}$

З цього випливає, що

${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,}$

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків [x_i−1, x_i]. Згідно з теоремою Лагранжа,

${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).\ }$

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$

Припущення означає ${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$ Також, ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$ може бути виражено як ${\displaystyle \Delta x}$ відтинку ${\displaystyle i}$.

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].\qquad (2)}$

Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше ${\displaystyle \Delta x}$, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від ${\displaystyle ||\Delta x_{i}\|}$, тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, ${\displaystyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$. Тепер, припустимо ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\ =G(x)-G(a)}$. Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми.^[3] Наприклад, якщо f(x) = e^−x2, тоді f має первісну, а саме

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,}$

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади

Задля прикладу обчислимо таке:

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$

Тут, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ і ми можемо використати ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ як первісну. Звідси

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$

Або, загальніше, обчислимо

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt}$

Тут, ${\displaystyle f(t)=t^{3}\,}$ і можна використати ${\displaystyle F(t)={\frac {t^{4}}{4}}}$ як первісну. Отже

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$

Або, тотожно,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.}$

Див. також

• Інтегральне числення

Примітки

1. Апостол, 1967, §5.1
2. Апостол, 1967, §5.3
3. Spivak, Michael (1980), Calculus (вид. 2nd), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.

Джерела

• Апостол, Том М. (1967), Інтегральне числення, Том. 1: Інтегральне числення функцій однієї змінної зі вступом до лінійної алгебри (вид. друге), Нью Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-00005-1. (англ.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

• Формула Ньютона — Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 412. — 594 с.