Теорема про середнє значення

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Формулювання теореми

Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$, диференційовна в ${\displaystyle (a,b)}$, то знайдеться принаймні одна точка ${\displaystyle c\in [a,b]}$ така, що має місце формула:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ наступну допоміжну функцію:

${\displaystyle F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)}$.

Перевіримо, що для функції ${\displaystyle F(x)}$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, ${\displaystyle \!F(x)}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ (як різниця функції ${\displaystyle \!f(x)}$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ має похідну:

${\displaystyle F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

З формули (1) очевидно, що ${\displaystyle F(a)=\!F(b)=0}$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку ${\displaystyle (a,b)}$ знайдеться точка ${\displaystyle c}$ така, що

${\displaystyle F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)}$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що ${\displaystyle b>a}$.

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Іноді буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, дещо відмінному від початкового. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке ${\displaystyle \!x_{0}}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ та надамо йому довільний приріст ${\displaystyle \Delta \ \!x}$, але такий, щоб значення ${\displaystyle x_{0}+\Delta \ \!x}$ також належало до проміжку ${\displaystyle [a,b]}$. Тоді для проміжку ${\displaystyle \![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]}$, будемо мати:

${\displaystyle f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)}$,

де ${\displaystyle c}$ — деяка точка, що лежить між ${\displaystyle x_{0}}$ та ${\displaystyle x_{0}+\Delta \ \!x}$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від ${\displaystyle \Delta \ \!x}$) число ${\displaystyle \theta \ }$ з інтервалу ${\displaystyle 0<\theta \ <1}$, що ${\displaystyle c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x}$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

${\displaystyle f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)}$,

де ${\displaystyle \theta \ }$ — деяке число з інтервалу ${\displaystyle 0<\theta \ <1}$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст ${\displaystyle \Delta \ \!x}$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки ${\displaystyle (a,f(a))}$ та ${\displaystyle (b,f(b))}$ кривої ${\displaystyle y=\!f(x)}$, ${\displaystyle \!f'(c)}$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої ${\displaystyle y=\!f(x)}$. Формула Лагранжа означає, що на кривій ${\displaystyle y=\!f(x)}$ між точками ${\displaystyle x=a}$ та ${\displaystyle x=b}$ знайдеться точка ${\displaystyle x=c}$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію ${\displaystyle f(x)}$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом ${\displaystyle s(t)=\!f(x)}$, тоді різниця ${\displaystyle f(b)-\!f(a)}$ є шлях, пройдений тілом, а різниця ${\displaystyle b-\!a}$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху ${\displaystyle f(b)-\!f(a)}$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Больцано — Коші
• Жозеф-Луї Лагранж
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 276. — 594 с.