Полярная система координат

Обзорная статья: Система координат

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось^[1]) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

Полярные координаты

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$^[2][3].

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным^[4].

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$; полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось ${\displaystyle OX}$ до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$^{[5][6][7][8][9][3][2][10][11]}.

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$^[10])^{[12][6][7][8][9][3][2][10]}.

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональна^[2]. Ортогональные координатные линии^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$^[3][2][10].

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений^[13].

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle A}$)^[5].

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину ${\displaystyle \varphi +k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание^[12])^[4][9].

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат^[3].

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел^[14]. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку^[15]. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы^[16].

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»^[17]. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат^[18]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком^[19][20] Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему^[17].

Определение полярной системы координат

Полярная система координат

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось^[1]) — система координат на плоскости, которую определяют следующие пять объектов (см. рисунок справа с этими объектами)^{[5][21][7][8][10][9]}:

• масштаб, то есть единица измерения длины;
• единица измерения плоских углов (обычно радиан)^[5];
• ориентация плоскости, то есть направление её вращения, которое выбрано положительным (обычно против часовой стрелки^[8][10]);
• фиксированная точка плоскости ${\displaystyle O}$. Эта точка называется началом, или полюсом, системы координат;
• луч ${\displaystyle OX}$, исходящий из точки ${\displaystyle O}$ и от неё направленный (обычно горизонтальный^[10]). Этот луч называется полярной осью.

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел^{[5][6][7][8][9][3][2][10]}:

• первая полярная координата, или полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$;
• вторая полярная координата, или полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$.

Точка ${\displaystyle M}$, имеющая полярные координаты, обозначаемые греческими буквами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, записываетсчя символом ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ (иногда ${\displaystyle M\langle \varphi ,r\rangle }$)^[7][22].

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$^[10])^{[12][6][7][8][9][3][2][10]}.

Раньше первой полярной координатой могли называть полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, а второй — полярный радиус ${\displaystyle \rho }$^[6]. Полярный радиус также могут обозначать латинской буквой ${\displaystyle r}$^[6], а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ могут называть амплитудой, или фазой, и обозначать ${\displaystyle \theta }$^[6][8][9].

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональна^[2]. Ортогональные координатные линии^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$^[3][2][10].

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений^[13].

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle N}$. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle A}$ (см. рисунок справа с этими точками)^[5].

Каждой паре значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ соответствует только одна точка плоскости, но одной и той же точке плоскости ${\displaystyle M}$ соответствует бесконечное множество значений полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, отличающихся друг от друга на число, кратное ${\displaystyle 2\pi }$ (см. пример 1)^[5].

Как правило, полагают, что значения полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ точек плоскости, отличных от полюса, лежат в следующих границах^{[4][9][3][10]}:

${\displaystyle 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$

(иногда ${\displaystyle \quad 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$^[5][8][10]).

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным^[4].

Главное значение полярного угла — значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, при котором получается взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат. Как правило, это значения ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$ (иногда используются значения ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$)^[5][8][10].

Примеры главных значений полярных углов. Точке плоскости ${\displaystyle N}$ из предыдущего примера отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}+2k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ есть целое число, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$. Точке плоскости ${\displaystyle A}$ из примера 1 отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2k\pi }$, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi =0}$^[12].

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Например (имеется более подробное описание^[12])^[4][9]:

• при вращении некоторой точки по окружности в обе стороны (когда ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$) естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать значения, большие ${\displaystyle 2\pi }$ или меньшие нуля;
• при движении точки по прямой, проходящей через полюс (когда ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$), естественно считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат^[3].

Связь полярных и декартовых координат

Соответствие полярной и декартовой систем координат

Иногда приходится одновременно использовать и полярную и декартову системы координат. в такой ситуации появляются две задачи: по полярным координата некоторой точки определить её декартовы координаты, и наоборот. Решим эти две задачи в частном случае, когда полярная и декартова системы координат связаны определённым образом^[23].

Если на плоскости задана некоторая полярная система координат, то тем самым задана и следующая строго определённая декартова система координат, и наоборот^[24].

Декартова система координат, определённая данной полярной — система координат, определённая следующим образом^[25][4]:

• масштаб декартовой системы равен масштабу полярной;
• начало декартовой системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом полярной ${\displaystyle O}$;
• положительная полуось абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы совпадает с полярной осью ${\displaystyle OX}$;
• ориентация декартовой системы совпадает с ориентацией полярной;
• ось ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы совпадает с её осью абсцисс ${\displaystyle OX}$, повёрнутой на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении.

Полярная система координат, определённая данной декартовой — система координат, определённая следующим образом^[26][23]:

• масштаб полярной системы равен масштабу декартовой;
• начало полярной системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом декартовой ${\displaystyle O}$;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$ совпадает с положительной полуосью абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы;
• ориентация полярной системы совпадает с ориентацией декартовой;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$, повёрнутая на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении, совпадает с положительной полуосью ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы.

Если для данной декартовой системы координат построить определённую ею полярную, а потом для этой полярной системы координат построить определённую ею декартову, то получится исходная декартова система координат. И наоборот^[26].

В итоге получаем следующую теорему^[26].

Теорема соответствия систем координат. Каждой декартовой системы координат соответствует строго определённая полярная, и наоборот^[26].

Формулы перехода между полярными и декартовыми координатами

Полярные и декартовы координаты

Положительный полярный радиус

В случае положительного полярного радиуса ${\displaystyle \rho \geqslant 0}$ очень легко доказывается^[23] следующая достаточно очевидная теорема^[26][4].

Теорема представления декартовых координат. Формулы, выражающие декартовы координаты через полярные, имеют следующий вид^[23][26][4]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Следующую теорему можно легко доказать непосредственно или вывести её из предыдущей теоремы^[23].

Теорема представления полярных координат. Формулы, выражающие полярные координаты через декартовы, имеют следующий вид^[27]:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}.}$

Следует иметь ввиду, что одной формулы ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$ или только одной из формул ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$, ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ недостаточно для правильного определения полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, что подтверждает следующая задача^[27].

Задача вычисления полярных координат. Пусть декартовы координаты точки ${\displaystyle M}$ плоскости равны ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=-2}$. Вычислит полярные координаты этой точки^[27].

Решение. 1. Сразу получаем: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {2^{2}+(-2)^{2}}}=2{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {-2}{2}}=-1}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение, и главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ равно ${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$^[27].

2. Используем другую формулу: ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {2}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение. Получили то же самое, что и раньше^[28].

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$^[4][29]:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}$

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle x}$, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций? помимо функции обычного арктангенса, ещё и дополнительную функцию арктангенса с двумя аргументами для числителя и знаменателя. Например, в системе компьютерной алгебры Mathematica язык программирования Wolfram поддерживает функцию ArcTan, которую можно использовать как с одним аргументом, так и с двумя^[30].

Полярный радиус любого знака

Пусть полярный радиус может принимать любые вещественные значения. Тогда формулы перехода между полярными и декартовыми координатами принимают другой вид (три формулы остаются прежними, три формулы изменяются):

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}},}$

причём для конкретной точки на плоскости в знаке плюс-минус берётся либо только плюс, либо только минус^[27].

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$ при ${\displaystyle \rho <0}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$^[4][29]:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x>0,y\geqslant$ ;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x<0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}

Обобщённая полярная система координат

Формулы перехода от полярной системы координат к декартовой позволяют сформулировать более простое определение полярной системы координат^{[2][3][31][32]}.

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$^[2][3].

Такое определение даёт возможность ввести следующее понятие обобщённой полярной системы координат^[2][3].

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Окружность, проходящая через полюс

Обзорная статья: Окружность

Окружность, проходящая через полюс

Окружность, проходящая через полюс — окружность, на которой находится полюс ${\displaystyle O}$ полярной системы координат. Использование такой окружности достаточно распространено в геометрии, например, на её уравнении основан вывод уравнений улитки Паскаля и кардиоиды. В декартовой системе координат ${\displaystyle XOY}$ уравнение такой окружности радиуса ${\displaystyle R}$ легко получается по теореме Пифагора (см. рисунок справа с прямоугольным треугольником ${\displaystyle CMP}$):

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

причём центр ${\displaystyle C}$ окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$^[28].

С помощью формул

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

легко вычисляется уравнение этой окружности в полярной системе координат с полюсом ${\displaystyle O}$ и полярной осью ${\displaystyle OX}$^[28]:

${\displaystyle \rho ^{2}-2R\rho \cos \varphi =0}$.

Полученное уравнение окружности распадается на два уравнения^[28]:

${\displaystyle \rho =0}$;

${\displaystyle \rho -2R\cos \varphi =0}$.

Первое уравнение есть уравнение полюса ${\displaystyle O}$. Второе уравнение есть уравнение всей окружности, при этом полюс ${\displaystyle O}$ получается при ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ и ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$. Следовательно, первое уравнение можно отбросить, окончательно получаем уравнение такой окружности в полярной системе координат^[28]:

${\displaystyle \rho =2R\cos \varphi }$.

Это уравнение можно получить непосредственно, без привлечения декартовой системы координат, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ${\displaystyle MOK}$ (см. рисунок справа вверху с этим треугольником)^[28].

Приведём уравнения окружности, проходящей через полюс, соответственно в декартовой и полярной системах координат с центром окружности, находящимся^[33]:

• на положительной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y+R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle (x+R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\cos \varphi }$.

Использование отрицательных значений полярного радиуса

Окружность, проходящая через полюс

Рассмотрим следующее уравнение окружности, проходящей через полюс:

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

когда центр окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$ (см. рисунок справа с такой окружностью). Если использовать только неотрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$ и не вводить отрицательных, то в этом уравнении угол ${\displaystyle \varphi }$ можно использовать только в первой и четвёртой четвертях, а во второй и третьей — нельзя, поскольку, например, при ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$ из уравнения следует ${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}}}$. Это вытекает из того, что луч ${\displaystyle ON}$ и окружность имеют только одну общую точку: полюс^[28].

Но в том случае, когда используются отрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$, то как раз полярные координаты

${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$

и соответствуют точке ${\displaystyle L}$ на продолжении луча ${\displaystyle ON}$^[28].

Дифференциальные характеристики

Первые и вторые производные

Якобианы

Независимо от знаков декартовых координат частные производные функций перехода между полярными и декартовыми координатами

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$

имеют следующий очень простой вид, благодаря чему получаем удобные якобианы^[34]:

${\displaystyle \det {\frac {D(x,\,y)}{D(\rho ,\,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-\rho \sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\rho \cos(\varphi )\end{vmatrix}}=\rho }$;

${\displaystyle \det {\frac {D(\rho ,\;\varphi )}{D(x,\;y)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial \rho }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \rho }{\partial y}}\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{\rho }}\sin(\varphi )&{\dfrac {1}{\rho }}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}={\dfrac {1}{\rho }}}$.

Элемент длины

Обзорная статья: Элемент длины

Непосредственное вычисление

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой^[35]:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.}$

Элемент длины в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть дана некоторая дуга и произвольную точку ${\displaystyle M}$ на ней (см. рисунок справа с толстой синей дугой). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат ${\displaystyle O}$) радиуса ${\displaystyle OM=\rho }$. Рассмотрим криволинейный треугольник ${\displaystyle MKN}$, образованный дугой окружности ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi }$, отрезком ${\displaystyle KN=\Delta \rho }$ и частью ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l}$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине ${\displaystyle K}$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}}$,

то есть в других обозначениях

${\displaystyle \Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги ${\displaystyle l}$ в полярной системе координат^[35].

Использование элемента длины из декартовых координат

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные^[36]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

${\displaystyle dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi }$,

${\displaystyle dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi }$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим^[36]:

${\displaystyle dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$.

Другие формулы

Коэффициенты Ламе^[2][3]:

${\displaystyle L_{\rho }=1,\quad }$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho .}$

Элемент площади^[2][3]:

${\displaystyle ds=\rho d\rho d\varphi .}$

Векторные операции

Градиенты^[37]:

${\displaystyle \operatorname {grad} _{\rho }f={\frac {\partial f}{\partial \rho }},\quad }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} _{\varphi }f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}.}$

Дивергенция^[37]:

${\displaystyle \operatorname {div} a={\frac {1}{\rho }}a_{\rho }+{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Оператор Лапласа^[37][3]:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Окружность, заданная уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=1}}$

Общее уравнение окружности с центром в (${\displaystyle r_{0},\;\theta }$) и радиусом ${\displaystyle a}$ имеет вид:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

${\displaystyle r(\varphi )=a}$

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом ${\displaystyle a}$^[38].

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

${\displaystyle \varphi =\theta }$,

где ${\displaystyle \theta }$ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, ${\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} \,m}$, где ${\displaystyle m}$ — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую ${\displaystyle \varphi =\theta }$ в точке ${\displaystyle (r_{0},\;\theta )}$ определяется уравнением

${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).}$

Полярная роза

Полярная роза задана уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=2\sin 4\varphi }}$

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})}$

для произвольной постоянной ${\displaystyle \theta _{0}}$ (включая 0). Если ${\displaystyle k}$ — целое число, то это уравнение будет определять розу с ${\displaystyle k}$ лепестками для нечётных ${\displaystyle k}$, либо с ${\displaystyle 2k}$ лепестками для чётных ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle k}$ — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если ${\displaystyle k}$ — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная ${\displaystyle a}$ определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном ${\displaystyle k}$ мы будем иметь ${\displaystyle k}$-лепестковую розу. Таким образом, уравнение ${\displaystyle r(\varphi )=\cos(2\varphi )}$ будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=\varphi }}$ для ${\displaystyle \scriptstyle {0<\theta <6\pi }}$

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$

Изменения параметра ${\displaystyle a}$ приводят к повороту спирали, а параметра ${\displaystyle b}$ — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для ${\displaystyle \varphi >0}$ а другую для ${\displaystyle \varphi <0}$. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Конические сечения

Полярные координаты для эллипса с началом координат в одном из его фокусов

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой — где-то на полярной оси, так, что ось лежит вдоль полярной оси, задаётся уравнением:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},}$

где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет,

${\displaystyle \ell }$ — фокальный параметр — расстояние от фокуса до директрисы.

Если ${\displaystyle e>1}$ это уравнение определяет гиперболу; если ${\displaystyle e=1,}$ то параболу; если ${\displaystyle e<1,}$ то эллипс. Особым случаем является ${\displaystyle e=0}$, определяющим окружность с радиусом ${\displaystyle \ell }$.

Например, уравнение эллипса в полярных координатах, когда ось координат направлена по одной из осей эллипса и начало координат находится в одном из его фокусов будет:

${\displaystyle r(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \varphi }}={\frac {\ell }{1\pm e\cos \varphi }},}$

где ${\displaystyle a}$ — длина полуоси эллипса вдоль оси координат.

Знак в знаменателе последнего выражения отрицательный, если направление оси координат к центру эллипса и положительный если иначе.

Связь полярных координат с комплексными числами

Пример комплексного числа ${\displaystyle \scriptstyle {z}}$, нанесённого на комплексную плоскость

Пример комплексного числа, изображённого на плоскости с использованием формулы Эйлера

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, положение этой точки может задаваться любой системой координат, например, в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма).

Комплексное число ${\displaystyle z}$ может быть записано в прямоугольной форме так:

${\displaystyle z=x+iy,}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица,

или в полярной системе координат:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$

отсюда:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$,

где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера.

Согласно формуле Эйлера, оба представления эквивалентны^[39]. В этой формуле, как и в других формулах, где углы находятся в показателе степени, угол ${\displaystyle \varphi }$ всегда задан в радианах.

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел могут использоваться формулы преобразования между системами координат (см. формулы преобразования между системами координат выше).

Операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел проще проводить в полярной форме. Согласно этим правилам:

• Умножение:

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}.}$

• Деление:

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}.}$

• Возведение в степень (формула Муавра):

${\displaystyle (re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }.}$

В математическом анализе

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты^[40][41].

Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.}$

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой ${\displaystyle r(\varphi )}$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi .}$

Дифференцируя оба уравнения по ${\displaystyle \varphi }$ получим:

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .}$

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке ${\displaystyle (r,\;r(\varphi ))}$:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Интегральное исчисление

Область ${\displaystyle \scriptstyle {R}}$, которая образована полярной кривой ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )}}$ и лучами ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =a}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =b}}$

Пусть ${\displaystyle R}$ — область, которая ограничена кривой, заданной в полярных координатах как ${\displaystyle r(\varphi )}$ и двумя лучами определяемыми как ${\displaystyle \varphi =a}$ и ${\displaystyle \varphi =b,}$ где ${\displaystyle 0<b-a<2\pi }$. Тогда площадь этой области равна определённому интегралу:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .}$

Область ${\displaystyle \scriptstyle {R}}$ образована из ${\displaystyle n}$ секторов (на рисунке для простоты показано 5 секторов

Этот результат получен следующим образом. Разобьём интервал ${\displaystyle [a,\;b]}$ на произвольное число равных подынтервалов ${\displaystyle n}$. Тогда длина каждого подынтервала ${\displaystyle \Delta \varphi }$ равна ${\displaystyle b-a}$ (полная длина интервала) делённая на ${\displaystyle n}$ (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала ${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — значение функкции в некоторой точке интервала. Построив секторы с центром в полюсе, радиусами ${\displaystyle r(\varphi _{i})}$, центральными углами ${\displaystyle \Delta \varphi }$ и длиной дуги ${\displaystyle r(\varphi _{i})\Delta \varphi }$. Площадь каждого такого сектора будет ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi }$. Отсюда, полная площадь всех секторов приближённо равна искомой площади фигуры:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$

Если число подынтервалов ${\displaystyle n}$ увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться и в пределе при ${\displaystyle n\to \infty }$, полученная сумма станет интегралом равным точной площади фигуры:

${\displaystyle \lim _{\Delta \varphi \to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .}$

Обобщение

В декартовых координатах площадь бесконечно малого элемента некоторой фигуры равна ${\displaystyle dA=dx\,dy}$. При переходе к другой системе координат в кратных интегралах вычисления площади необходимо использовать определитель Якоби:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}.}$

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$

Следовательно, площадь бесконечно малого элемента в полярных координатах можно записать так:

${\displaystyle dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$

Функция для площади, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

${\displaystyle \iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\varphi )}f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Здесь фигура ${\displaystyle R}$, как и в предыдущем описании нахождения площади такая же, которую образуют полярная кривая ${\displaystyle r(\varphi )}$ и два луча ${\displaystyle \varphi =a}$ и ${\displaystyle \varphi =b}$.

Формула для вычисления площади, приведённая в предыдущем описании, получена для случая ${\displaystyle f=1}$.

Частным результатом применения формулы преобразования элемента площади в разных системах координат для кратных интегралов является интеграл Эйлера — Пуассона:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Векторный анализ

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ на двумерном пространстве (плоскости) можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )}$

в направлении ${\displaystyle \mathbf {r} }$, и

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );}$

${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.}$

Связь между декартовыми компонентами поля ${\displaystyle F_{x}}$ и ${\displaystyle F_{y}}$ и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi$ ;}

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .}$

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля ${\displaystyle \Phi (r,\;\varphi )}$ записывается:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }.}$

Всё это работает за исключением одной особой точки — полюса, для которой ${\displaystyle \varphi }$ не определено, и векторный базис, описанный выше, построить таким образом в данной точке нельзя. Это надо иметь в виду, хотя на практике векторные поля, исследуемые с помощью полярных координат, часто или сами имеют особенность в этой точке, или равны в ней нулю, что несколько облегчает дело. Кроме того, использование полярных координат никак не затрудняет выражение произвольного векторного поля сколь угодно близко к этой точке.

Трёхмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты

Точка ${\displaystyle \scriptstyle {P}}$ начертана в цилиндрической системе координат

Основная статья: Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как ${\displaystyle z}$, образуя тройку координат ${\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}$.

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi$ ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases}}}

Сферические координаты

Точка начертана в сферической системе координат

Основная статья: Сферическая система координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты ${\displaystyle \theta }$, равным углу поворота от вертикальной оси ${\displaystyle z}$ (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка ${\displaystyle (r,\;\varphi ,\;\theta )}$, где ${\displaystyle r}$ — расстояние от центра координат, ${\displaystyle \varphi }$ — угол от оси ${\displaystyle x}$ (как и в плоских полярных координатах), ${\displaystyle \theta }$ — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта ${\displaystyle \delta }$ является дополнением ${\displaystyle \theta }$ и равна ${\displaystyle \delta =90^{\circ }-\theta }$, а долгота ${\displaystyle l}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle l=\varphi -180^{\circ }}$^[42].

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi$ ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай ${\displaystyle n}$-мерного пространства. Пусть ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i=1,\;\ldots ,\;n}$ — координатные векторы ${\displaystyle n}$-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в ${\displaystyle n}$-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ от координатной оси ${\displaystyle x_{i+2}}$.

Для перевода обобщённых ${\displaystyle n}$-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{n-1}&=&r\cos \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{n-2}.\end{array}}}$

Как можно показать, случай ${\displaystyle n=2}$ соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а ${\displaystyle n=3}$ — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1},\;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}}$,

где ${\displaystyle n}$-мерный элемент объёма имеет вид:

${\displaystyle dV=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{n-2}=}$

${\displaystyle =r^{n-1}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\,d\vartheta _{j}.}$

Применение

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физические системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Поводом создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу, впоследствии оказалось, что она крайне удобна иногда и для исследования некругового движения (см. Кеплерова задача).

Позиционирование и навигация

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу^[43]. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро)^[44].

Применение в физике

Cечение комптоновского рассеяния от угла рассеяния (для разной энергии фотона)

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, и вообще центральные силы. Также существенное удобство полярные координаты предоставляют при работе с системами, имеющими точечные (или приближенно точечные) источники энергии, такие как радиоантенны — при исследовании их излучения на сравнительно больших расстояниях от антенны, распространение звука или света — в особенности (но не обязательно) сферически- или цилиндрически-симметричное. В определённых задачах, в том числе из числа упомянутых выше, использование сферических или цилиндрических координат (являющихся для этих задач естественными) по сути сводится к использованию просто двумерных полярных координат.

Полярные координаты как для вычислений, так и для наглядного изображения их результатов, бывают достаточно полезны не только в случаях, когда симметрия задачи близка в целом к осевой или сферической, но и в случаях, когда симметрия явно далека от таковой, например, для вычисления поля диполя. В этом случае применение полярных координат имеет мотивировку в малом размере источника поля (заряды диполя расположены очень близко друг к другу), к тому же поле каждого такого заряда просто выражается в полярных координатах, особенно если поместить полюс в один из этих зарядов (поле второго будет отличаться, кроме знака, лишь на малую поправку).

В квантовой механике и химии полярные координаты (наряду со сферическими для более сложных случаев) используются для изображения угловой зависимости волновой функции электрона в атоме, в том числе в целях качественного анализа и наглядности при преподавании.

Применение в прикладных целях, диаграммы направленности

Диаграмма направленности (азимутальная) типичной направленной антенны

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических координатах при шести частотах

В разных прикладных областях, полярные координаты применяются как способами, близкими к применяемым в соответствующих областям фундаментальной физики, так и самостоятельным образом.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность. В случае излучателя, имеющего строгую осевую симметрию или слабо от неё отклоняющегося, достаточно использовать не сферические, а обычные (двумерные) полярные координаты, так как во всех плоскостях, проходящих через ось симметрии, зависимость будет одинаковой или почти одинаковой. Если такой симметрии нет, то какое-то представление о звуковом потоке в разных направлениях может дать пара (для каждой частоты) полярных диаграмм в перпендикулярных плоскостях, для эллиптического или прямоугольного излучателя — связанного с его главными осями.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности при падении звуковой волны под углом относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности.

В принципе, полярные диаграммы могут использоваться для представления практически любых зависимостей. Но на практике обычно этот вид представления выбирается в случаях, когда речь идет от зависимости от реального геометрического направления (см. например Роза ветров, Диаграмма рассеяния, зависимость отраженного светового потока от угла в фотометрии, диаграмма направленности антенн, светодиодов и других светоизлучателей, фотодатчиков, акустических систем итп). Также довольно нередко можно встретиться с применением полярных координат в случаях, когда одна из переменных имеет циклический характер (в полярных координатах её довольно естественно представлять углом).

Могут применяться и областях, не связанных прямо с физикой (хотя иногда можно проследить более или менее прямую аналогию в этом плане), например, можно использовать полярные диаграммы, аналогичные розе ветров, например, для изучения направлений миграций животных. Такое использование достаточно удобно и наглядно.

Примечания

1. Полюс, 1988.
2. Соколов Д. Д. Полярные координаты, 1984, стб. 480.
3. Полярные координаты, 1988.
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия, 1988, Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 22.
5. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 73. Полярные координаты, с. 126.
6. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 1. Определение полярных координат, с. 78.
7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия, 1988, Глава 1. Системы координат… § 4. Полярные… 1. Полярные координаты, с. 21.
8. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, § 4. Полярные координаты. 14, с. 16.
9. Полярные координаты, 1975.
10. Полярная система координат, 1984.
11. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат, 1973, 10. Другие системы координат, с. 47.
12. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 73. Полярные координаты, с. 127.
13. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат, 1973, 10. Другие системы координат, с. 49.
14. Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано из оригинала 26 апреля 2001 года.
15. T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine, Elsevier, p. 169, ISBN 0444503285
16. David A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128—184 [153], Routledge, London and New York
17. Coolidge, Julian^[англ.]. The Origin of Polar Coordinates (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1952. — Vol. 59. — P. 78—85. — doi:10.2307/2307104. Архивировано 1 июня 2006 года.
18. Boyer, C. B. Newton as an Originator of Polar Coordinates (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1949. — Vol. 56. — P. 73—78. — doi:10.2307/2306162.
19. Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics  (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006. Архивировано 15 февраля 2012 года.
20. Smith, David Eugene. History of Mathematics, Vol II (неопр.). — Boston: Ginn and Co., 1925. — С. 324.
21. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 1. Определение полярных координат, с. 77.
22. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 1. Определение полярных координат, с. 79.
23. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, § 4. Полярные координаты. 15, с. 17.
24. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 2. Связь прямоугольных координат с полярными, с. 79.
25. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 2. Связь прямоугольных координат с полярными, с. 79—80.
26. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Прямоугольна система координат. Полярные координаты. § 4. Полярная система координат на плоскости. 2. Связь прямоугольных координат с полярными, с. 80.
27. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами, с. 129.
28. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами, с. 130.
29. Torrence B. F., Torrence E. A. The Student’s Introduction to Mathematica, 2009, 6.4 Other Coordinate Systems. Polar Coordinates, p. 314–315.
30. Torrence B. F., Torrence E. A. The Student’s Introduction to Mathematica, 2009, 6.4 Other Coordinate Systems. Polar Coordinates, p. 315.
31. Polar Coordinate System, 2024.
32. Stover Christopher, Weisstein Eric W. Polar Coordinates, 2024.
33. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами, с. 131.
34. Якобиан, 1978.
35. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 573.
36. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 574.
37. Соколов Д. Д. Полярные координаты, 1984, стб. 481.
38. Claeys, Johan. Polar coordinates  (неопр.). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано из оригинала 15 февраля 2012 года.
39. Smith, Julius O. Euler's Identity // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) (англ.). — W3K Publishing, 2003. — ISBN 0-9745607-0-7.
40. Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves  (неопр.). Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано из оригинала 11 октября 2014 года.
41. Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs  (неопр.). Дата обращения: 25 ноября 2006. Архивировано из оригинала 2 июля 2015 года.
42. Wattenberg, Frank. Spherical Coordinates  (неопр.) (1997). Дата обращения: 16 сентября 2006. Архивировано из оригинала 15 февраля 2012 года.
43. Santhi, Sumrit. Aircraft Navigation System  (неопр.). Дата обращения: 26 ноября 2006. Архивировано из оригинала 15 февраля 2012 года.
44. Emergency Procedures  (неопр.) (PDF). Дата обращения: 15 января 2007. Архивировано 15 февраля 2012 года.

Источники

• Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: «Наука», 1968. 912 с., ил.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. 5-е изд., стереот. М.: «Наука», 1973. 87 с., ил. (Серия «Математика. Библиотечка физико-математической школы» под ред. И. М. Гельфанда.)
• Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебное пособие. 13-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2005. 238 с. ISBN 5-9221-0252-4.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учебник для университетов. 4-е изд., доп. М.: «Наука», 1988. 223 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 5 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Полюс // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 474.
• Полярная система координат // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 320—321.
• Полярные координаты // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — Проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 338. Полярные координаты // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
• Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
• Соколов Д. Д. Полярные координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 480—481.
• Якобиан // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1978. Т. 30. Экслибрис — Я я. 1978. 632 с. с илл., 30 л. илл., 9 л. карт. С. 481. Якобиан // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 8 ноября 2023 на Wayback Machine
• Polar Coordinate System // Wolfram MathWorld Архивная копия от 24 марта 2024 на Wayback Machine
• Stover Christopher, Weisstein Eric W. Polar Coordinates // Wolfram MathWorld Архивная копия от 5 октября 2024 на Wayback Machine
• Torrence B. F., Torrence E. A.^[англ.] The Student’s Introduction to Mathematica. A Handbook for Precalculus, Calculus, and Linear Algebra. Second edition. New York: Cambridge University Press, 2009. 471 с. ISBN 978-0-511-51624-5 eBook (EBL). ISBN 978-0-521-71789-2 paperback.

Ссылки

• Программы для рисования графиков в каталоге ссылок Curlie (dmoz)