Формула Муавра

Формула Муавра для комплексного числа ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ утверждает, что^[1][2]:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )}$

для любого целого числа ${\displaystyle n}$.

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра, в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована Эйлером^[3].

Извлечение корней

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа^[4]:

${\displaystyle z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$

где ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$.

Из этой формулы следует, что корни ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно ${\displaystyle n}$. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого ${\displaystyle n}$ верно

${\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{inx}.}$

По формуле Эйлера левая часть равна ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}}$, в то время как правая равна

${\displaystyle e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.}$

Примечания

1. § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа  (неопр.). scask.ru. Дата обращения: 27 марта 2022.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
3. История математики, том III, 1972, с. 57—61.
4. Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.

Литература

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.