Гауссов интеграл

Не следует путать с интегралом Пуассона, выражающим гармоническую функцию внутри шара (круга) через её значения на его границе.

Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на^[1]) — интеграл от гауссовой функции:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Доказательства

Доказательство

Рассмотрим функцию ${\displaystyle (1+t)e^{-t}}$ . Она ограничена сверху единицей на интервале ${\displaystyle (-\infty$ ;+\infty )} , а снизу нулем на интервале ${\displaystyle [-1;+\infty )}$ . В частности, полагая ${\displaystyle t=\pm x^{2}}$, получим при ${\displaystyle x\not =0}$ : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})e^{x^{2}}<1\\(1+x^{2})e^{-x^{2}}<1\end{matrix}}\right.}$ Ограничим в первом неравенстве изменение ${\displaystyle x}$ промежутком ${\displaystyle (0,1)}$, а во втором — промежутком ${\displaystyle (0;\infty )}$, возведём оба неравенства в степень ${\displaystyle n(n\in N)}$, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})^{n}<e^{-nx^{2}}\\0<x<1\end{matrix}}\right.}$ и ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}e^{-nx^{2}}<{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\\x>0\end{matrix}}\right.}$ Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx<\int \limits _{0}^{1}e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx}$ При замене ${\displaystyle u=x{\sqrt {n}}}$ получим ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {n}}}\cdot K,\;K=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$ Полагая ${\displaystyle x=\cos t}$ получим, соответственно, ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}t\,dt={\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}}$ Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной ${\displaystyle t}$ от 0 до ${\displaystyle \pi /2}$ величина ${\displaystyle \cos t}$ меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя ${\displaystyle x=\mathrm {ctg} \,t}$, получим ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-2}t\,dt={\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}}$ Здесь с пределами интегрирования аналогично: ${\displaystyle \mathrm {ctg} \,t}$ изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной ${\displaystyle t}$ от 0 до ${\displaystyle \pi /2}$ . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале ${\displaystyle {\sqrt {n}}\cdot {\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}<K<{\sqrt {n}}\cdot {\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}}$ Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до ${\displaystyle {\frac {n}{2n+1}}\cdot {\frac {(2n!!)^{2}}{(2n+1)((2n-1)!!)^{2}}}<K^{2}<{\frac {n}{2n-1}}\cdot {\frac {(2n-1)((2n-3)!!)^{2}}{((2n-2)!!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{4}}}$ Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к ${\displaystyle \pi /4}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ Следовательно, ${\displaystyle K^{2}={\frac {\pi }{4}}\Longleftrightarrow K={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$ В силу чётности функции ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$, получаем, что ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Доказательство 2

Гауссов интеграл может быть представлен как ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,{\rm {d}}y}$. Рассмотрим квадрат этого интеграла ${\displaystyle I^{2}}$. Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам ${\displaystyle (x=r\cos \phi }$, ${\displaystyle y=r\sin \phi }$, ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2})}$ и интегрируя по ${\displaystyle \phi }$ (от 0 до ${\displaystyle 2\pi }$), получаем: ${\displaystyle I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,e^{-x^{2}-y^{2}}{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\;{\rm {d}}r=2\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\;{\rm {d}}r=\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}\;{\rm {d}}r^{2}=\pi .}$ Следовательно, ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}}$.

Доказательство 3

Гауссов интеграл может быть представлен как ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}}}dx}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{y^{2}}}}dy}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{z^{2}}}}dz}}$. Рассмотрим куб этого интеграла ${\displaystyle I^{3}}$. Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам: ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \varphi \\y=r\sin \theta \sin \varphi \\z=r\cos \theta \\{r^{2}}={x^{2}}+{y^{2}}+{z^{2}}\end{array}}\right.}$, якобиан преобразования равен ${\displaystyle J={r^{2}}\sin \theta }$, и интегрируя по ${\displaystyle \theta }$ (от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \pi }$), по ${\displaystyle \varphi }$ (от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2\pi }$), по ${\displaystyle r}$ (от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \infty }$), получаем: ${\displaystyle {\begin{array}{l}{I^{3}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}-{y^{2}}-{z^{2}}}}dx}dy}dz}=\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{\pi }{\int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}Jdr}d\theta }d\varphi }=\int \limits _{0}^{2\pi }{d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta \int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}{r^{2}}dr}}}=\\=2\pi \left({(-\cos \pi )-(-\cos 0)}\right)\left({-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{rd{e^{-{r^{2}}}}}}\right)=-2\pi \left({\left.{\left({r{e^{-{r^{2}}}}}\right)}\right|_{0}^{\infty }-\int \limits _{0}^{\infty }{{e^{-{r^{2}}}}dr}}\right)=-2\pi (0-{\frac {I}{2}})=\pi I\end{array}}}$ Следовательно, ${\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{e^{-{x^{2}}}}dx}={\sqrt {\pi }}}$.

Вариации

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\alpha e^{-x^{2}/\beta ^{2}}\,dx=\alpha \beta {\sqrt {\pi }}}$

и многомерные гауссовы интегралы

${\displaystyle \int \alpha e^{-(x^{2}/\beta _{1}^{2}+y^{2}/\beta _{2}^{2}+z^{2}/\beta _{3}^{2}+\dots )}\,dxdydz\dots =\alpha \beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\dots {\sqrt {\pi ^{n}}}}$

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

${\displaystyle \int e^{x^{T}Mx}\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}\dots dx_{n}={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{|\det(M)|}}}}$

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c},}$

В физике

Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики^[2].

История

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона^[2].

См. также

• Функция ошибок

Примечания

1. Пуассона интеграл — статья из Большой советской энциклопедии. 
2. Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — С. 16. — 632 с. — ISBN 978-5-93972-770-9.

Ссылки

• Morozov, A.; Shakirove, Sh. (2009). "Introduction to integral discriminants". Journal of High Energy Physics. 2009 (12): 002. arXiv:0903.2595. Bibcode:2009JHEP...12..002M. doi:10.1088/1126-6708/2009/12/002.