Градиент

Эта статья о векторе; о способе заливки см. Градиент (компьютерная графика).

Градие́нт (от лат. gradiens — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины ${\displaystyle \varphi }$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности ${\displaystyle \varphi =}$ const.

Оператор градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем они длиннее, тем круче наклон

Градиент поля ${\displaystyle \varphi }$ обозначается: ${\displaystyle \mathrm {grad} \ \varphi }$. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины ${\displaystyle \varphi }$ в направлении вектора^[1][2]. Например, если взять в качестве ${\displaystyle \varphi }$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение ${\displaystyle \mathrm {grad} }$ тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением ${\displaystyle (\mathrm {grad} \,\varphi )}$ часто используется компактная запись с использованием оператора набла: ${\displaystyle \nabla \varphi .}$

Иллюстрация применения

Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля ${\displaystyle T}$, не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ температура равняется ${\displaystyle T(x,y,z)}$. В каждой точке комнаты градиент функции ${\displaystyle T}$ будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычисление

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ координат ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ называется векторная функция с компонентами

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.}$^[3]

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}$

Если ${\displaystyle \varphi }$ — функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}}$, то её градиентом называется ${\displaystyle n}$-мерный вектор

${\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}$

компоненты которого равны частным производным ${\displaystyle \varphi }$ по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
• Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции ${\displaystyle f}$ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена ${\displaystyle f}$, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения ${\displaystyle f}$ при смещении на ${\displaystyle d\mathbf {x} }$. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}$

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат ${\displaystyle x_{i}}$, полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

${\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

${\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}}$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} }$,

градиент можно выразить в интегральной форме:

${\displaystyle \nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right),}$

здесь ${\displaystyle {\it {S}}}$ — замкнутая поверхность охватывающая объём ${\displaystyle {\it {{V},d\mathbf {s} }}}$ — нормальный элемент этой поверхности.

Пример

Например, градиент функции ${\displaystyle \varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z}$ будет представлять собой:

${\displaystyle \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).}$

Некоторые применения

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.}$

Нетрудно показать, что градиент функции ${\displaystyle \varphi }$ в точке ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}}$ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}}$, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi }$;

напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала:

${\displaystyle {\vec {E}}_{gr}=-\nabla \varphi _{gr}}$.

Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U_{p}}$.

Диффузионный поток, согласно первому закону Фика, пропорционален градиенту концентрации вещества:

${\displaystyle {\vec {J}}=-D\nabla C}$,

где ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии.

Направление вектора ${\displaystyle {\vec {E}}}$, ${\displaystyle {\vec {E}}_{gr}}$, ${\displaystyle {\vec {F}}}$, ${\displaystyle {\vec {J}}}$ перпендикулярно поверхности постоянной величины ${\displaystyle \varphi =}$ const, ${\displaystyle \varphi _{gr}=}$ const, ${\displaystyle U_{p}=}$ const и ${\displaystyle C=}$ const, соответственно.

В других естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции ${\displaystyle \varphi }$ по направлению ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})}$ равняется скалярному произведению градиента ${\displaystyle \varphi }$ на единичный вектор ${\displaystyle {\vec {e}}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e}}).}$

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

где ${\displaystyle H_{i}}$ — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\end{matrix}}.}$

Отсюда:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(r,\;\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.}$

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}.}$

Отсюда:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.}$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}=1\;\;\;\;\;\;\\H_{2}=r\;\;\;\;\;\;\\H_{3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}.}$

Отсюда:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}$

Вариации и обобщения

Пусть ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция ${\displaystyle \rho \colon X\to \mathbb {R} }$ называется верхним градиентом ${\displaystyle u}$ если следующее неравенство

${\displaystyle |u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho }$

выполняется для произвольной спрямляемой кривой ${\displaystyle \gamma }$, соединяющей ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ в ${\displaystyle X}$.^[4]

См. также

• 4-градиент
• Векторный анализ
• Градиент концентрации
• Градиентные методы
• Оператор Кэнни
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Формулы векторного анализа