Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат , являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой
z
{\displaystyle z}
Точка в цилиндрических координатах. Точка
P
{\displaystyle P}
(
ρ
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}
прямоугольной системы координат :
ρ
⩾
0
{\displaystyle \rho \geqslant 0}
O
{\displaystyle O}
P
′
{\displaystyle P'}
P
{\displaystyle P}
X
Y
{\displaystyle XY}
P
{\displaystyle P}
Z
{\displaystyle Z}
0
⩽
φ
<
360
∘
{\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}
X
{\displaystyle X}
O
P
′
{\displaystyle OP'}
z
{\displaystyle z}
аппликате точки
P
{\displaystyle P}
При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения
(
ρ
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}
Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось
Z
{\displaystyle Z}
x
2
+
y
2
=
c
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}
ρ
=
c
{\displaystyle \rho =c}
2 точки в цилиндрических координатах. Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.
Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:
{
e
→
ρ
=
cos
φ
e
→
x
+
sin
φ
e
→
y
,
e
→
φ
=
−
sin
φ
e
→
x
+
cos
φ
e
→
y
,
e
→
z
=
e
→
z
,
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}}
и образуют правую тройку:
{
e
→
ρ
×
e
→
φ
=
e
→
z
,
e
→
z
×
e
→
ρ
=
e
→
φ
,
e
→
φ
×
e
→
z
=
e
→
ρ
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{\varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}}
Обратные соотношения имеют вид:
{
e
→
x
=
cos
φ
e
→
ρ
−
sin
φ
e
→
φ
,
e
→
y
=
sin
φ
e
→
ρ
+
cos
φ
e
→
φ
,
e
→
z
=
e
→
z
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}}
Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:
{
x
=
ρ
cos
φ
,
y
=
ρ
sin
φ
,
z
=
z
.
{\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases}}}
Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:
{
ρ
=
x
2
+
y
2
,
φ
=
a
r
c
t
g
(
y
x
)
,
z
=
z
.
{\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\\z=z.\end{cases}}}
Якобиан равен:
J
=
ρ
.
{\displaystyle J=\rho .}
Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:
g
i
j
=
(
1
0
0
0
ρ
2
0
0
0
1
)
,
g
i
j
=
(
1
0
0
0
1
/
ρ
2
0
0
0
1
)
.
{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}
Квадрат дифференциала длины кривой
d
s
2
=
d
ρ
2
+
ρ
2
d
φ
2
+
d
z
2
.
{\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.}
H
ρ
=
1
,
H
φ
=
ρ
,
H
z
=
1.
{\displaystyle H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.}
Γ
22
1
=
−
ρ
,
Γ
21
2
=
Γ
12
2
=
1
ρ
.
{\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\rho }}.}
Остальные равны нулю.
Градиент в цилиндрической системе координат:
g
r
a
d
ψ
=
e
→
ρ
∂
ψ
∂
ρ
+
e
→
φ
1
ρ
∂
ψ
∂
φ
+
e
→
z
∂
ψ
∂
z
.
{\displaystyle \mathrm {grad} \,\psi ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}.}
Лапласиан в цилиндрической системе координат:
Δ
ψ
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
ψ
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
ψ
∂
φ
2
+
∂
2
ψ
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta \psi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}
Дивергенция в цилиндрической системе координат:
d
i
v
a
→
=
1
ρ
∂
ρ
a
ρ
∂
ρ
+
1
ρ
∂
a
φ
∂
φ
+
∂
a
z
∂
z
.
{\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {a}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.}
Ротор в цилиндрической системе координат:
r
o
t
a
→
=
d
e
t
(
1
ρ
e
→
ρ
e
→
φ
1
ρ
e
→
z
∂
∂
ρ
∂
∂
φ
∂
∂
z
a
ρ
ρ
a
φ
a
z
)
=
e
→
ρ
(
1
ρ
∂
a
z
∂
φ
−
∂
a
φ
∂
z
)
+
e
→
φ
(
∂
a
ρ
∂
z
−
∂
a
z
∂
ρ
)
+
e
→
z
(
1
ρ
∂
ρ
a
φ
∂
ρ
−
1
ρ
∂
a
ρ
∂
φ
)
.
{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {a}}=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right).}
r
(
t
)
=
ρ
e
→
ρ
+
z
e
→
z
{\displaystyle r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}}
r
˙
(
t
)
=
ρ
˙
e
→
ρ
+
ρ
φ
˙
e
→
φ
+
z
˙
e
→
z
{\displaystyle {\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}
r
¨
(
t
)
=
(
ρ
¨
−
ρ
φ
˙
2
)
e
→
ρ
+
(
2
ρ
˙
φ
˙
+
φ
¨
ρ
)
e
→
φ
+
z
¨
e
→
z
{\displaystyle {\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}
Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с. 
