Цилиндрическая система координат

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ${\displaystyle z}$), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка в цилиндрических координатах.

Точка ${\displaystyle P}$ даётся как ${\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}$. В терминах прямоугольной системы координат:

• ${\displaystyle \rho \geqslant 0}$ — расстояние от ${\displaystyle O}$ до ${\displaystyle P'}$, ортогональной проекции точки ${\displaystyle P}$ на плоскость ${\displaystyle XY}$. Или то же самое, что расстояние от ${\displaystyle P}$ до оси ${\displaystyle Z}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}$ — угол между осью ${\displaystyle X}$ и отрезком ${\displaystyle OP'}$.
• ${\displaystyle z}$ равна аппликате точки ${\displaystyle P}$.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения ${\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}$.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось ${\displaystyle Z}$ взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}$, а в цилиндрических — очень простое уравнение ${\displaystyle \rho =c}$. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Основная статья: Прямоугольная система координат

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}}$

и образуют правую тройку:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{\varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}}$

Обратные соотношения имеют вид:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}}$

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases}}}$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\\z=z.\end{cases}}}$

Якобиан равен:

${\displaystyle J=\rho .}$

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

• Квадрат дифференциала длины кривой

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.}$

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

${\displaystyle H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.}$

• Символы Кристоффеля ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\rho }}.}$

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы

Основная статья: Дифференциальные операторы в различных системах координат

Градиент в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\psi ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}.}$

Лапласиан в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \Delta \psi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {a}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.}$

Ротор в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {a}}=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right).}$

Выражения для радиус-вектора, скорости и ускорения в цилиндрических координатах

${\displaystyle r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

См. также

• Углы Эйлера
• Цилиндрические шахматы

Литература

• Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с.