operație aplicată unui poliedru From Wikipedia, the free encyclopedia
În geometrie, snub este o operație aplicată unui poliedru. Termenul provine din numele date de Kepler la două poliedre arhimedice: cubul snub (cubus simus) și dodecaedrul snub (dodecaedron simum).[1] În general, snuburile au simetrie chirală cu două forme: cu orientare în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. După numele lui Kepler, un snub poate fi văzut ca o expandare a unui poliedru regulat: deplasarea fețelor, răsucirea lor în jurul centrelor lor, adăugarea de poligoane noi centrate pe vârfurile originale și adăugarea de perechi de triunghiuri care se încadrează între marginile originale.
Terminologia a fost generalizată de Coxeter, cu o definiție ușor diferită, pentru o gamă mai largă de politopuri uniforme.
John Conway a explorat operatorii poliedrici generalizați, definind ceea ce acum se numește acum notația Conway a poliedrelor, care poate fi aplicată poliedrelor și pavărilor. Conway numește operația așa cum a fost definită de Coxeter semisnub.
În această notație, operatorul snub (s) este definit de operatorii dual (d) și giro (g) drept s = dg și este echivalent cu o alternare a unei trunchieri a operatorului ambo. Notația Conway evită operația de alternare (half) a lui Coxeter, deoarece se aplică numai la poliedre cu fețe poligonale cu un număr par de laturi.
Forme pentru snub | Poliedre | Pavări euclidiene | Pavări hiperbolice | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Nume | Tetraedru | Cub or octaedru |
Icosaedru sau dodecaedru |
Pavare pătrată | Pavare hexagonală sau Pavare triunghiulară |
Pavare heptagonală sau Pavare triunghiulară de ordinul 7 |
Imagini | ||||||
Notația Conway |
sT | sC = sO | sI = sD | sQ | sH = sΔ | sΔ7 |
Imagini |
În 4 dimensiuni Conway propune că 24-celule snub ar trebui numit 24-celule semisnub, deoarece, spre deosebire de poliedrele snub tridimensionale, sunt forme omnitrunchiate alternate, nu este un 24-celule omnitrunchiat alternat. În schimb, este de fapt un 24-celule trunchiat alternat.[2]
Terminologia lui Coxeter este ușor diferită, înseamnând o trunchiere alternată, obținâmd cubul snub ca un cuboctaedru snub, iar dodecaedrul snub ca un icosidodecaedru snub. Această definiție este utilizată în denumirile a două poliedre Johnson: bisfenoidul snub și antiprisma pătrată snub, precum și în politopuri din dimensiuni superioare, cum ar fi 4-dimensionalul 24-celule snub, cu simbolul Schläfli extins s{3,4,3} și diagrama Coxeter .
Un poliedru regulat (sau pavare), cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter are trunchierea definită ca și , și are snubul definit ca trunchierea alternată și . Această construcție alternată necesită ca q să fie par.
Un poliedru cvasiregulat, cu simbolul Schläfli sau r{p,q} și diagrama Coxeter sau , are trunchierea cvasiregulată definită ca sau tr{p,q} și sau și are snubul cvasiregulat definit ca rectificarea trunchiată alternată or htr{p,q} = sr{p,q} și sau .
Sămânță | Rectificat r |
Trunchiat t |
Alternat h | |
---|---|---|---|---|
Nume | Cub | Cuboctaedru Cub rectificat |
Cuboctaedru trunchiat Cub cantitrunchiat |
Cuboctaedru snub Cub rectificat snub |
Notația Conway | C | CO rC |
tCO trC or trO |
htCO = sCO htrC = srC |
Simbol Schläfli | {4,3} | or r{4,3} | or tr{4,3} | htr{4,3} = sr{4,3} |
Diagramă Coxeter | sau | sau | sau | |
Imagine |
De exemplu, cubul snub al lui Kepler este obținut din cuboctaedrul cvasiregulat, cu un simbol Schläfli vertical și diagrama Coxeter , iar așa este mai explicit numit cuboctaedru snub, exprimat de un simbol Schläfli vertical și o diagramă Coxeter . Cuboctaedrul snub este alternarea cuboctaedrului trunchiat, și .
Poliedrele regulate cu fețe cu un număr par de vârfuri pot fi, de asemenea, snubate ca trunchieri alternate, cum ar fi octaedru snub, așa cum , , este alternarea octaedrului trunchiat, și .. Octaedru snub reprezintă pseudoicosaedrul, un icosaedru regulat cu simetrie piritoedrică.
Tetratetraedrul snub, ca și , este alternarea formei cu simetrie tetraedică, trunchiate, și .
Operația snub definită de Coxeter permite să se definească n-antiprismele ca sau , bazate pe n-prismele or , unde este un n-hosoedru regulat, un poliedru degenerat, dar o pavare validă a sferei cu fețe în formă de digoane sau lentile.
Același proces se aplică pavărilor snub:
Pavare triunghiulară Δ |
Pavare triunghiulară trunchiată tΔ |
Pavare triunghiulară snub htΔ = sΔ |
---|---|---|
{3,6} | t{3,6} | ht{3,6} = s{3,6} |
Poliedrele neuniforme cu toate fețele având un număr par de vârfuri pot fi snubate, inclusiv unele seturi infinite; de exemplu:
Poliedrele stelate snub se construiesc pe baza triunghiurilor Schwarz (p q r), cu unghiurile reflexiilor ordonate rațional, iar toate oglinzile sunt active și alternate.
s{3/2,3/2} |
s{(3,3,5/2)} |
sr{5,5/2} |
s{(3,5,5/3)} |
sr{5/2,3} |
sr{5/3,5} |
s{(5/2,5/3,3)} |
sr{5/3,3} |
s{(3/2,3/2,5/2)} |
s{3/2,5/3} |
În general, un 4-politop regulat cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter , are snubul cu simbolul Schläfli extins și .
Un 4-politop rectificat = r{p,q,r}, și are simbolul snubului = sr{p,q,r} și .
Există un singur 4-politop convex uniform snub, 24-celule snub. 24-celule regulat are simbolul Schläfli și diagrama Coxeter , iar 24-celule snub este reprezentat de și diagrama Coxeter diagram . El are și o construcție cu o simetrie indice 6 ca sau s{31,1,1} și , și o subsimetrie indice 3 ca sau sr{3,3,4} și sau .
Fagurele 24-celule snub asociat poate fi văzut ca sau s{3,4,3,3} și , iar cu simetrie mai mică sau sr{3,3,4,3} și sau , iar cu o formă cu simetrie mai mică ca sau s{31,1,1,1} și .
Un fagure euclidian este un fagurele sleb hexagonal alternat, s{2,6,3} și sau sr{2,3,6} și sau sr{2,3[3]} și .
Alt fagure euclidian (scaliform) este fagurele sleb pătrat alternat, s{2,4,4} și sau sr{2,41,1} și :
Unicul fagure uniform hiperbolic snub este fagurele pavare hexagonală snub, ca s{3,6,3} și , care poate fi construit și ca un fagure pavare hexagonală alternată, h{6,3,3}, . El poate fi construit și ca s{3[3,3]} și .
Alt fagure hiperbolic (scaliform) este fagurele octaedric snub de ordinul 4, s{3,4,4} și .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.